historia de las ecuaciones diferenciales

Historia de las ecuaciones diferenciales.
Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus comienzos has contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas,químicas e ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que aparece su derivada.
En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco etapas, donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa iría desde los inicios hasta 1820 cuando Cauchy publica su teorema deexistencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La tercera comienza en 1870 con M. S. Lie (1842 – 1899) y la aplicación de la teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1880 con el trabajo de E. Picard (1856 – 1941) y teorema de existencia. La construcción de las ecuacionesdiferenciales es análoga a la teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1930 estudia ecuaciones diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el análisis funcional.
Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia finales del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1550 – 1617) cuando invento loslogaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial.
Lo infinitamente pequeño tenia para Galileo Galilei (1564 – 1642) una importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo necesitaba en su dinámica. Galileo analizo el comportamiento delmovimiento de un proyectil con una componente horizontal y uniforme, y una componente vertical uniformemente acelerado, consiguiendo demostrar que la trayectoria del proyectil, despreciando la resistencia del aire, es siempre una parábola. Estudió el problema del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre y se puede considerar que utilizó para su resolución ecuaciones diferenciales. DePierre Fermat (1601 – 1665) dice Laplace que es el inventor del cálculo diferencial.
Las ecuaciones diferenciales aparecen simultáneamente al cálculo infinitesimal. Por ejemplo en 1638 apareció el problema de la tractriz, propuesto por René Descartes (1596 – 1650) a Fermat, que realmente es un problema de tangentes a una curva, (o pudo resolverlo pues conocía el cálculo), fue resultado de 1674 porLeibniz y en 1690 por Jakob Bernoulli, cuando ya se conocían los trabajos de Newton y Leibniz.
Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton (1642 – 1727) y Gottfried Withelm Leibniz (1648 – 1716). Dice este ultimo “Considerando la matemática desde el comienzo del mundo hasta la época de Newton, lo que el ha hecho es, con mucho, la mitad mejor”. Muy pronto los científicos se dan cuenta deque las ecuaciones diferenciales son la expresión matemática de las leyes naturales.
Isaac Newton (1642 – 1727) nació el mismo año en que murió Galileo. Los problemas que motivaron sus descubrimientos fueron el estudio de la dinámica del punto y del solido rígido. Sus primeros descubrimientos matemáticos datan de 1665 en que expreso funciones en series de potencias, y empezó a pensar en lavelocidad del cambio, o fluxión de magnitudes que varían de manera continua tales como áreas, longitudes, distancias, temperaturas, etc. Asociando de manera conjunta ambos problemas, las series infinitas y las velocidades de cambio.
El “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas”, publicado en 1711, contiene la primera exposición sistemática del cálculo, donde formula un método...