Historia de los numeros naturales y operaciones

HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Muchos de los problemas que el hombre se plantea a darle un resultado surge con la necesidad de buscar lo desconocido atravez de lo que se conoce y
desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna
mente brillante, hasta la formalizacion de los mismos. El avance en el tiempo de
la matematica fue un proceso lento, debido al caracterformal de esta ciencia: una
de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser
aceptado por toda la comunidad. Asi pues, muchas ideas incompletas quedaron re-
legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de
la epoca, como fue el caso de los numeros complejos.
Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vezprimera los
algebristas se dedican a investigar seriamente estos numeros y penetran el halo
misterioso en que se hallaban envueltos desde la antiguedad. Los complejos aparecen
inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Pero Como surge la idea de usar estos numeros? >Porque no aparecieron antes?
>Quien era Cardano? Trataremos de contestar a estasinterrogantes remontandonos
a los origenes del algebra.
Podemos decir que los numeros complejos aparecieron muy temprano en el pai-
saje de las matematicas, pero fueron ignorados sitematicamente, por su caracter ex-
tra~no, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones
de las ecuaciones cuadraticas, que generan raices cuadradas de numeros negativos.
Por ejemplo laecuacion:
x2 + x + 5 = 0
es decir que los números complejos surgieron por la necesidad de buscar alguna solución a problemas planteados como en esta ecuación.
En conclusión podemos afirmar que los números complejos son todos aquellos que supuestamente no tienen solución, claro aceptándola en el algebra se representa con la letra i: imaginario

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES SOBRE NÚMEROSCOMPLEJOS.
Cuando en una función resulte i al cuadrado, tomara el valor de -1
Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces:
a) La condición necesaria y suficiente para que los números complejos z1 = a + bi y z2 = c + di sean iguales es que a = c y b = d.
b) Para sumar dos números complejos z1 + z2 se suman por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a+ c + (b + d)i
c) Para restar dos números complejos z1 - z2 se restan, por una parte, las partes reales y por otra las imaginarias.
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a – c + (b – d)i
d) Para multiplicar dos números complejos z1z2 se efectúa la operación como si se tratase de dos binomios sustituyendo i2 por −1.
z1z2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.
e)Para dividir dos números complejos , se multiplican el numerador y denominador por el conjugado del denominador y se sustituye i2 por −1.
1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS.
Ejemplo 1.4: z = (5 + 4i) + (3 + 2i) = 5 + 3 + (4 + 2)i = 8 + 6i
z = (−6 + 2i) + (4 – 5i) = −6 + 4 + (2 – 5)i = −2 – 3i
Ejemplo 1.5: z = (3 + 2i) – (5 – 3i) = 3 – 5 + [2 – (−3)]i = - 2 + 5i
z = (−1 +i) – (−3 + 2i) = −1 – (−3) + (1 – 2)i = 2 – i
Ejemplo 1.6: z = (5 +3i)(2 – 2i) = (5)(2) – (3)(−2) + [(5)(−2) + (3)(2)]i
= 10 + 6 +(−10 + 6)i
= 16 – 4i.
z = (−3 +2i)(−6 + 2i) = (−3)(−6) - (2)(2) + [(−3)(2) + (−6)(2)]i
= 18 – 4 + (−6 −12)i
= 14 – 18i
Operaciones Fundamentales Números Complejos
• Representación Binomial
Cada complejo se representa en forma binomial como:
z = a +ib
a es la parte real del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así:
Z = 3 + 4i
a = Re (z) = 3
b = Im (z) = 4
• Plano de los números complejos
Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.
Cada número complejo sería un punto en ese...