Historia de losnumeros primos
Páginas: 8 (1799 palabras)
Publicado: 29 de febrero de 2012
Los números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia.
Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.
Un número perfecto esaquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en si mismo. Por ejemplo, el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2 y al 3 y 1 + 2 + 3 = 6, 28 tiene divisores 1, 2, 4, 7 y 14 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Un par de números amigables es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de un número suman el otro y viceversa.
Puede ver más acerca de estos números enel artículo de Números Perfectos en Tópicos Históricos.
Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdopara establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos.
Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta eldía de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.
Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura.
El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. Eldemostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados.
Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización del número 2027651281 = 44021 × 46061.
Probó lo que se conocecomo El pequeño teorema de Fermat (para distinguirlo del llamado Ultimo Teorema).
Este establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a modulo p.
Esto prueba la mitad de lo que se ha llamado la Hipótesis China que data de unos 2000 años antes, y que dice que un entero n es primo si y solo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa,ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341 aún cuando 341 = 31 × 11 es compuesto. El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicos.
Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época, y en particular con el monje MarínMersenne. En una de sus cartas a Mersenne, él conjetura que los números 2n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. El había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma son llamados Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años más tarde que Euler demostró que 232 + 1 = 4294967297 es divisible por 641y por tanto no es primo.
Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. A menudo éstos son llamados Números primos de Mersenne Mn, dado que Mersenne los estudió.
No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto, aunque fue...
Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.
Un número perfecto esaquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en si mismo. Por ejemplo, el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2 y al 3 y 1 + 2 + 3 = 6, 28 tiene divisores 1, 2, 4, 7 y 14 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Un par de números amigables es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de un número suman el otro y viceversa.
Puede ver más acerca de estos números enel artículo de Números Perfectos en Tópicos Históricos.
Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos. En el Libro IX de los Elementos, Euclides prueba que hay infinidad de números primos. Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdopara establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primos.
Euclides también demostró que si el número 2n - 1 es primo, entonces el número 2n-1(2n - 1) es un número perfecto. El matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta eldía de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.
Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes.
Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura.
El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. Eldemostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados.
Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización del número 2027651281 = 44021 × 46061.
Probó lo que se conocecomo El pequeño teorema de Fermat (para distinguirlo del llamado Ultimo Teorema).
Este establece que si p es un número primo entonces para cualquier entero a obtenemos que ap = a modulo p.
Esto prueba la mitad de lo que se ha llamado la Hipótesis China que data de unos 2000 años antes, y que dice que un entero n es primo si y solo si el número 2n - 2 es divisible por n. La otra mitad es falsa,ya que, por ejemplo, 2341 - 2 es divisible por 341 aún cuando 341 = 31 × 11 es compuesto. El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicos.
Fermat mantuvo correspondencia con otros matemáticos de su época, y en particular con el monje MarínMersenne. En una de sus cartas a Mersenne, él conjetura que los números 2n + 1 eran siempre primos si n es una potencia de 2. El había verificado esto para n = 1, 2, 4, 8 y 16 y sabía que si n no era una potencia de 2, el resultado fallaba. Los números de esta forma son llamados Números de Fermat y no fue hasta más de 100 años más tarde que Euler demostró que 232 + 1 = 4294967297 es divisible por 641y por tanto no es primo.
Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. A menudo éstos son llamados Números primos de Mersenne Mn, dado que Mersenne los estudió.
No todos los números de la forma 2n - 1 con n primo son primos. Por ejemplo 211 - 1 = 2047 = 23 × 89 es compuesto, aunque fue...
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