Historia del calculo

lTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

Históricamente, el cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención  de áreas de figuras planas. Los griegos lo abordaron, llegando a fórmulas para el área de polígonos, círculo, segmentos de parábolas, etc. El método que emplearon consistía en aproximar exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonosde áreas conocidas.
Este procedimiento original de Eudoxo (406 a.C. - 355 a.C.) fue utilizado esporádicamente por Euclides (hacia 300 a.C.) y de forma sistemática por Arquímedes (286 a.C. - 212 a.C.).
 
Hacia el siglo XVI de nuestra era, este método pasó a llamarse método de exhaución, o método exhaustivo, método de agotamiento.
 
Basándose en ese método, los matemáticos del siglo XVII,se pusieron a trabajar en las diferentes ramas del calculo infinitesimal (diferencial e integral), el primero introducido a partir del problema de la tangente y el segundo a partir del problema del area, en principio parecen no tener ningún punto en común pero sin embargo hay una estrecha conexión entre ambos, este conexión fue descubierta independientemente por Newton y Leibniz a los cuales seles llama los padres del calculo, esta conexión se denomina “TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO”, para ver esta relación entre la derivación y la integración miraremos antes lo que es una integral definida a partir de las sumas realizadas por Riemann para encontrar el area de regiones curvas.

SUMAS DE RIEMANN
Uno de los problemas del hombre, fue el cálculo de áreas de regiones curvas.Consideremos la grafica de la función y = f(x), continua en [a , b ]

x

x

El área bajo la curva, se divide en “n” franjas de anchos iguales:
Una aproximación de la i-esima franja, con un rectángulo de ancho y altura que es el valor de la función f en los puntos extremos de la derecha.
El área bajo la curvase aproxima a la suma de las áreas de los rectángulos

x

x

Cuando el número de rectángulos se incrementa, la aproximación del área bajo la curva, va mejorando, es decir cuando , por lo tanto se define el área bajo la, curva de la siguiente manera.

Se obtiene lo mismo con los puntos extremos de la izquierda

En lugar de usar los puntos extremos izquierdos o derechos, se puede tomarla altura del i-ésimo rectángulo, como el valor de la función f en cualquier número en el i-ésimo subintervalo .Los puntos
Son llamados puntos muestras.

x

El área bajo la curva, en una forma más general es:

Utilizando la notación sigma, se tiene:

Por lo tanto el área bajo la curva se puede expresar:

En la notación del cálculo Integral, se escribe:Se denomina suma de Riemann

Teorema fundamental del cálculo
El teorema que vamos a observar a continuación recibe este nombre ya que hace de manera concisa la relación entre el calculo diferencial problema de la tangente, de la variación de la razón de cambio y el calculo integral en primera medida el problema del área en otras palabras las derivadas y las integrales
y

x

x
y

xx
a
b

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

dydx=f´x abfxdx
Definimos:
g(x)= axftdt
Se observa que solo g depende de x, que aparece como el límite superior variable en la integral. si x es un número fijo, la integral axftdt es un número definido. Si x varia, elnúmero axftdt también varía y define a una función de x, representada por g(x) por ejemplo sean ft=t y a=0
Entonces tenemos:
g(x)=0xtdt= x22

g´x=x ; esto es que g´=f. En otras palabras, si definimos g como la integral de f mediante la ecuación g(x)= axftdt resulta que g es una antiderivada de f, cuando menos en este caso para visualizar porqué podría ser cierto esto en general, nos fijaremos...