Historia del calculo

Ingenier´ Inform´tica. ıa a

Escuela T´cnica Superior de Ingenier´ Inform´tica e ıa a

Tema 5: Aplicaciones del c´lculo en varias variables a

17 de diciembre de 2002

1.

Funciones vectoriales. Curvas parametrizadas

5.

Regla de la cadena: f ◦φ es derivable y (f ◦φ) (t) = f (φ(t))φ (t). h ◦ f es derivable y (h ◦ f ) = h (f (t)) · f (t) (obs´rvese que estamos usando el productoescae lar).

Definici´n 1 Una funci´n vectorial de variable real o o es una aplicaci´n f : D ⊂ R → Rn . Esta funci´n o o f viene dada por n funciones reales de variable real, fi : D ⊂ R → R, de modo que f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)); escribiremos f = (f1 , . . . , fn ) Definici´n 2 Sea f = (f1 , . . . , fn ) : D ⊂ R → Rn , o a ∈ Ac(D); decimos que el l´ ımite de f en a es v = n si (v1 , . . . ,vn ) ∈ R
t→a

1.1.

Curvas parametrizadas

l´ fi (t) = vi ım

para todo
t→a

i = 1, . . . , n;

y en tal caso escribimos: l´ f (t) = v. ım Definici´n 3 Sea f = (f1 , . . . , fn ) : D ⊂ R → Rn : o 1. Decimos que f es continua en a ∈ D si todas la funciones fi son continuas en a; es decir, si l´ f (t) = f(a). ım
t→a

Ya hemos trabajado con conjunto de puntos en el plano o en elespacio que hemos denominado curvas; la gr´fica de una funci´n real de variable real es una curva a o y tambi´n lo son las curvas de nivel de un campo escae lar en R2 . Sin embargo, no disponemos de una noci´n o general de curva que permita considerar los casos mencionados como casos particulares, y que en consecuencia establezca una coherencia entre los distintos usos de la palabra curva. La noci´ngeneral de curva es la curva o parametrizada. Definici´n 5 Un conjunto C ⊂ Rn se dice que es una o curva parametrizada si existe un intervalo I y una funci´n vectorial continua f : I → Rn tal que C = f (I). o Las ecuaciones x1 = f1 (t), ..., xn = fn (t) t∈I

2.

Decimos que f es derivable en a ∈ D si todas la funciones fi son derivables en a y llamamos derivada de f en a al vector: f (a) = (f1(a), . . . , fn (a)).

Proposici´n 4 Sean f , g : R → Rn dos funciones veco toriales derivables, φ : R → R una funci´n real derivable o n → R un campo escalar; entonces: y h: R 1. 2. 3. f + g es derivable y (f + g) = f + g . φf es derivable y (φf ) = φ f + φf . f · g (producto escalar) es derivable y (f · g) = f ·g+f ·g . Para funciones sobre R3 : f ×g (producto vectorial) es derivable y (f ×g) = f × g + f × g .

se denominan ecuaciones param´tricas de la curva y la e variable t se denomina par´metro. a Debemos tener en cuenta que el concepto de curva corresponde al subconjunto de puntos y no a la funci´n o vectorial; de hecho, una curva admite muchas parametrizaciones distintas. Las gr´ficas de las funciones reales de variable rea al son efectivamente curvas parametrizadas. Si φ : I⊂ R → R es una funci´n continua, la funci´n vectorial o o f (t) = (t, φ(t)), t ∈ I 1

4.

Curso 2002/03. C´lculo para la Computaci´n. Tema 4. a o

es una parametrizaci´n del grafo de φ. El rec´ o ıproco no es cierto, es decir, no todas las curvas parametrizadas en R2 pueden describirse como el grafo de una funci´n real o de variable real; por ejemplo, la curva parametrizada f(t) = (cos t,sen t), t ∈ [0, 2π] es una circunferencia de radio 1 y centrada en el origen y no puede describirse como grafo. La situaci´n no es tan simple para el caso de las curo vas de nivel, aunque tambi´n es cierto que las curvas de e nivel de campos escalares en R2 diferenciables, tambi´n e son curvas parametrizadas. Este hecho es consecuencia del teorema de la impl´ ıcita que veremos m´s adelante, apero la justificaci´n formal queda fuera de los objetio vos de este curso; sin embargo, si describiremos algunas curvas asociadas a campos concretos. Aunque hemos exigido solamente la condici´n de cono tinuidad a la parametrizaci´n, lo habitual ser´ trabajar o a con curvas diferenciables. Definici´n 6 Una curva C ⊂ Rn se dice diferenciable o si admite una parametrizaci´n f (t) derivable; una pao...