historia matematica origenes calculo

❖rí❣❡♥❡s ❞❡❧
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❍✐st♦r✐❛ ❞❡❧ ❆♥á❧✐s✐s ▼❛t❡♠át✐❝♦

▼✐❣✉❡❧ ▼❛rtí♥ ❙✉ár❡③

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✺✼

Evolución de la idea de integral

499

❉❡ ❧❛ ♠❛t❡♠át✐❝❛ ❣r✐❡❣❛ ❛❧ ♦r✐❣❡♥ ❞❡❧ ❈á❧❝✉❧♦
Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garantizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el
caso en que b > a. Lo dejo para que lo hagas tú.
©

Pr♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❝✉❛❞r❛t✉r❛s ❡♥ ❧❛s ♠❛t❡♠át✐❝❛s ❣r✐❡❣❛s
8.8.Evolución
de la idea
de ♣r♦❜❧❡♠❛s
integral
▲♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s
❞❡ ❝✉❛❞r❛t✉r❛s
s♦♥
❣❡♦♠étr✐❝♦s q✉❡ ❝♦♥s✐st❡♥ ❡♥ ❧♦ s✐❣✉✐❡♥t❡✿
❞❛❞❛ ✉♥❛ ✜❣✉r❛✱ ❝♦♥str✉✐r ✉♥ ❝✉❛❞r❛❞♦ ❝♦♥ ár❡❛ ✐❣✉❛❧ ❛ ❧❛ ❞❡ ❧❛ ✜❣✉r❛ ❞❛❞❛✳ ❊st❛ ❝♦♥str✉❝❝✐ó♥

8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas

❞❡❜í❛ ❤❛❝❡rs❡ ❝♦♥ r❡❣❧❛ ♥♦ ❣r❛❞✉❛❞❛ ② ❝♦♠♣ás✱ s✐❣✉✐❡♥❞♦ ✉♥❛s ♥♦r♠❛s ♣r❡❝✐s❛s✳ ❙❡❣ú♥ ❧♦
5 Los problemas de cuadraturas son problemasgeométricos que consisten en lo siguiente:
❡st❛❜❧❡❝✐❞♦ ❡♥ ❧♦s ❊❧❡♠❡♥t♦s ❞❡ ❊✉❝❧✐❞❡s ✭❝✳ ✸✵✵ ❛✳❈✳✮ ❧❛ ❝♦♥str✉❝❝✐ó♥ ❞❡❜❡ ❝♦♥st❛r ❞❡ ✉♥
dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción
♥ú♠❡r♦ ✜♥✐t♦ ❞❡
♣❛s♦s✱
❝❛❞❛
❞❡ ❡❧❧♦s
❝♦♥s✐st❡♥t❡
❡♥✿normas precisas. Según lo estadebía
hacerse con
regla✉♥♦
no graduada
y compás,
siguiendo unas
blecido en los Elementosde Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un número
de pasos,
uno❞♦s
de ellos
consistente en:
• ❚r❛③❛r ✉♥❛finito
r❡❝t❛
q✉❡cada
✉♥❛
♣✉♥t♦s✳

•

 Trazar una recta que
dos puntos.
❚r❛③❛r ✉♥❛ ❝✐r❝✉♥❢❡r❡♥❝✐❛
❞❡una
❝❡♥tr♦
② r❛❞✐♦ ❛r❜✐tr❛r✐♦s✳

•

 Trazar
una ✜❣✉r❛s
circunferencia
de centro y radio arbitrarios.
■♥t❡rs❡❝❛r ❞♦s
❞❡ ❧❛s
❛♥t❡r✐♦r❡s✳

 Intersecar dos de las figurasanteriores.
❙♦♥ ❢❛♠♦s♦s ❧♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❧❛ ❝✉❛❞r❛t✉r❛ ❞❡❧ ❝ír❝✉❧♦✱ ❧❛ tr✐s❡❝❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥ á♥❣✉❧♦✱ ❧❛ ❞✉♣❧✐❝❛❝✐ó♥
Son famosos los❞❡
problemas
de la cuadratura
del círculo,
la trisección
de un ángulo, la
dupli❞❡❧ ❝✉❜♦ ② ❧❛ ✐♥s❝r✐♣❝✐ó♥
♣♦❧í❣♦♥♦s
r❡❣✉❧❛r❡s
❡♥ ✉♥❛
❝✐r❝✉♥❢❡r❡♥❝✐❛✳
❊♥
❧❛ ❛♥t✐❣✉❛ ●r❡❝✐❛ s❡
cación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antigua
s❛❜í❛ ❝✉❛❞r❛r❝✉❛❧q✉✐❡r
♣♦❧í❣♦♥♦✳
Grecia se sabía
cuadrar cualquier polígono.

F

A

O

D

G

B

E

H

C
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo

❋✐❣✉r❛ ✶✳ ❈✉❛❞r❛t✉r❛ ❞❡ ✉♥ r❡❝tá♥❣✉❧♦
Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:

Se prolonga el lado
AB y se❞❡
determina
sobre él
E tal que❞❡
BE❧❛D ❢♦r♠❛
BC .
P❛r❛ ❝✉❛❞r❛r ❡❧1)r❡❝tá♥❣✉❧♦
ABCD
❧❛ ✜❣✉r❛
✶ un
s❡punto
♣r♦❝❡❞❡
s✐❣✉✐❡♥t❡✿
5Para

escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],

✶✮ ❙❡ ♣r♦❧♦♥❣❛González
❡❧ ❧❛❞♦
AB[7]②y H.s❡J. M.❞❡t❡r♠✐♥❛
s♦❜r❡ é❧ ✉♥ ♣✉♥t♦
Urbaneja
Bos [2].

E

t❛❧ q✉❡

BE = BC✳

✷✮ ❙❡ tr❛③❛ ❝♦♥ ❝❡♥tr♦ ❡♥ ❡❧ ♣✉♥t♦ ♠❡❞✐♦ O ❞❡ AE ✉♥❛ s❡♠✐❝✐r❝✉♥❢❡r❡♥❝✐❛ ❞❡ r❛❞✐♦ OE✳
Universidad de Granada
Prof. Javier Pérez
Dpto. B
de Análisis...