historia numero complejos

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Breve historia de los N´meros Complejos
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Breve historia de los N´meros Complejos
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Teniendo conocimiento de c´mo la raza huo
mana ha adquirido su sabidur´a sobre ciertos
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hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici´n de juzgar c´mo los ni˜os adquieren
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tal conocimiento.
George P´lya (1887-1985)
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Primeras referencias: SI-SXII
La primera referencia escrita de lara´z cuadrada de un n´mero negativo la encontramos en la
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obra Stereometr´a de Her´n de Alejandr´ (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I.
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√
√
Es este trabajo comparece la operaci´n 81 − 144 aunque es tomada como 144 − 81, no sabi´ndose
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si este error es debido al propio Her´n o al personal encargado de transcribirlo.
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La siguiente referencia sobre estacuesti´n se data en el a˜o 275 en la obra de Diophantus (aprox.
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200-284) Arithmetica. En su intento de c´lculo de los lados de un tri´ngulo rect´ngulo de per´metro
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2
12 y area 7, Diophantus plante´ resolver la ecuaci´n 336x + 24 = 172x, ecuaci´n de ra´ces complejas
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como puede ser comprobado f´cilmente.
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Son los matem´ticos hind´es los que dan las primerasexplicaciones a este tipo de problemas.
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Mahavira, alrededor del a˜o 850, comenta en su tratado de los n´meros negativos que ”como en
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la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´z
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cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:
El cuadrado de un n´mero, positivo o negativo, es positivo; la ra´zcuadrada de
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un n´mero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe ra´z
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cuadrada de un n´mero negativo ya que un n´mero negativo no es un cuadrado.
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Primeros estudios: SXVI

J. Cardan (1501 - 1576)
En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´tico, f´sico y fil´sofo italiano, publica
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”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe unm´todo para resolver ecuaciones algebraicas de
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grado tres y cuatro. Esta obra se convert´a as´ en el mayor tratado de algebra desde los Babil´nicos,
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3000 a˜os antes, que dedujeron c´mo resolver la ecuaci´n cuadr´tica.
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Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente:
An´lisis Matem´tico VI - Curso 2006/2007
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Breve historia de los N´merosComplejos
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Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que
esta cuesti´n es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.
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Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como
√
√
o
soluciones 5 + −15 y 5 − −15. Por multiplicaci´n probaba Cardan que el producto era 40. Esta
es la primeraconstancia escrita de la ra´z de un n´mero negativo y de su manejo algebraico.
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Cardan tambi´n tropieza con estas ra´ces en las soluciones que presenta de la ecuaci´n c´bica
e
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o u
x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:
3

x=

b
+
2

b
2

2

a
−
3

3

+

3

b
−
2

b
2

2

−

a
3

3

.

√
√
o
o
Para la ecuaci´n x3 = 15x + 4 estaf´rmula da como soluci´n x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121,
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√
√
la cual Cardan di´ por v´lida. Como esta ecuaci´n tiene las ra´ces 4, −2+ 3 y −2− 3, interesaba la
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a
o
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relaci´n con las propuestas por la f´rmula de Cardan. Fu´ el ingeniero hidra´lico Rafael Bombelli
o
o
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(Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜os despu´s de la publicaci´n de la obra de Cardan, quien introdujo
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e
o
√un razonamiento que el mismo catalog´ de un tanto ”salvaje”. Plante´ que como −2 + −121 y
o
o
√
−2− −121 s´lo se diferencian en un signo, lo mismo deb´a suceder con sus ra´ces c´bicas. As´ escrib´
o
ı
ı
u
ı
ıa
3

−2 +

√
√
−121 = a + −b

y

3

−2 −

√
√
−121 = a − −b,

donde por c´lculo directo obten´a que a = 2 y b = 1, luego
a
ı
3

−2 +

√

−121 +

3...