Historia números complejos

Una Introducci´n o a los N´meros Complejos u

por FRANCISCO RIVERO MENDOZA

Departamento de Matem´ticas a Facultad de Ciencias Universidad de los Andes M´rida - Venezuela e Marzo de 2001.

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A Paola y Francisco... y que siempre vayan por la vida sintiendo la magia de los n´meros. u

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´ Indice general
1. Historia de los N´ meros u 1.1. Los inicios del ´lgebra a 1.2. Cardano . .. . . . . . 1.3. Bombelli . . . . . . . . 1.4. N´meros Imaginarios . u Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 6 8 11 11 13 17 22 28 35 41 41 46 47 55 55 58 59 62 65 68 71

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2. Algebra de los N´ meros Complejos u 2.1. Definici´n de n´mero complejo . . . . . . o u 2.2. Suma de n´meros Complejos . . . . . . . u 2.3. Producto de n´meros complejos . . . . . u 2.4. Representaci´n geom´trica . . . . . . . . o e 2.5. La Forma Polar . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Potencias y ra´ ıces de n´meros complejos. u

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3. La f´rmula de Euler o 3.1. El N´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 3.2. Aplicaciones a la Trigonometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 3.3. Un paseo por la Geometr´ . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa ´ 4. El Teorema Fundamental del Algebra 4.1. La historia del T.F.A. . . . . . . . . . . . 4.2. Preparando nuestro arsenal . . . . . . . . 4.3. L´ ımites de sucesiones complejas . . . . . . 4.4. Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . 4.5. Propiedad Topol´gica del Disco Complejo o 4.6. El teorema de Weierstrass . . . . . . . . . ´ 4.7. TeoremaFundamental del Algebra . . . . 3

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4 5. Movimientos en el plano 5.1. ¿Porqu´ los movimientos? . . . . . . . e 5.2. Transformaciones en el planocomplejo 5.3. Movimientos R´ ıgidos . . . . . . . . . 5.4. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rotaci´n de ejes . . . . . . . . . . . . o 5.7. Reflexiones y deslizamientos . . . . . .

´ INDICE GENERAL 77 77 79 80 83 86 87 89

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´ INDICE GENERAL Introducci´n o La magia poderosa de los n´ meros complejos u

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El tema de los N´meros Complejos, a pesar de ser tan hermoso por integrar u la trigonometr´ el ´lgebra y la geometr´ es muy poco estudiado enla escuela ıa, a ıa, b´sica y diversificada. Para muchos docentes, la finalidad de los n´meros complejos a u est´ en poder calcular las ra´ a ıces en´simas de la unidad. En los cursos de matem´tie a cas b´sicas en la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades m´s a a importantes, dejando de lado aspectos geom´tricos tan importantes como el estudio e de las transformaciones y losmovimientos del plano. El poder de c´lculo que se esconde detr´s de los complejos, es algo m´gico. Con a a a un m´ ınimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y f´rmulas trigonom´tricas que o e requieren de un trabajo tedioso y agotador, siguiendo los m´todos usuales. Muchos e conceptos de la matem´tica, como el de funci´n, l´ a o ımites, series de potencias y continuidad se estudian de manera...