Historia

MATEMÁTICA MÓDULO 1 Eje temático: Números y proporcionalidad
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS Empezaremos este curso de preparación PSU revisando los diferentes conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media. Números naturales: son aquellos que utilizaste desde pequeño(a) para contar:

Números enteros: este conjunto está conformado por los negativos, lospositivos y el cero, que no es positivo ni negativo:

Números racionales: son todos aquellos que se pueden expresar como cuociente entre números enteros:

Ejemplos de racionales, son: • • • • • Los números naturales: 3 = Los números enteros: 0 =

3 1

0 -3 ; -3 = 1 1 23 100 45 99

Los números decimales finitos: 0,23 =

Los números decimales infinitos periódicos: 0,45 =

Los númerosdecimales infinitos semiperiódicos: 0,32 =

32 − 3 90

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Números irracionales: son todos aquellos que no se pueden expresar como cuociente entre dos números enteros. Se caracterizan por tener infinitas cifras decimales sin período. Este conjunto se designa con la letra .

2 = 1,4142... π = 3,1415926... 0,010010001...
Números reales: es el conjunto formado por los números racionales eirracionales. Este conjunto se designa con la letra .

Resumiendo lo anterior, tenemos la siguiente situación:

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A continación puedes ver un mapa conceptual relativo a los conjuntos numéricos:

OPERATORIA EN a) Adición y sustracción de fracciones:

a c ad + bc + = b d bd a c ad − bc − = b d bd
b) Multiplicación de fracciones:

a c ac ⋅ = b d bd
c) División de fracciones:

a c a d := ⋅ b d b c

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d) Adición y sustracción de decimales: se deben poner los decimales en columna, alineando la coma decimal. 0,23 + 1,4 = 0,23 +1,4 1,63 e) Multiplicación de decimales: Se multiplican tal como si fueran números enteros, y al resultado le colocamos tantas cifras decimales como tengan los factores: 0,2 . 1,54 = 2 x 154 = 308, pero 0,2 tiene 1 decimal y 1,54 tiene dos, por lotanto el resultado debe tener tres decimales: 0,2 . 1,54 = 0,308 f) División de decimales: Se corre la coma decimal la misma cantidad de lugares tanto en el dividendo como en el divisor, de modo que ambos se conviertan en números enteros. Posteriormente, se efectúa la división entre estos enteros. 0,02 : 0,5 = Corremos la coma dos lugares a la derecha: 2 : 50 = La división resulta: 200 : 50 = 0,04COMPARACIÓN ENTRE RACIONALES Si queremos ordenar un conjunto de números decimales, basta agregar cifras decimales y comparar como si fueran enteros, olvidándonos de la coma:

Sean x = 0,23 ; y = 0,23 ; z = 0,23

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Agregamos cifras decimales para poder comparar: x = 0,23 | 0... y = 0,23 | 2... z = 0,23 | 3... Por lo tanto: x < y < z Si queremos comparar dos fracciones basta multiplicar cruzadoen forma ascendente y comparar los productos resultantes: Ordenar de menor a mayor:

3 4 y 5 7

Multiplicando cruzado en forma ascendente, obtenemos: 3 . 7 = 21 y 5 . 4 = 20:

Como 21 > 20 se deduce que

3 4 > 5 7

Si las fracciones son negativas, conviene dejar los signos en el numerador para luego multiplicar cruzado con los números positivos. Si se tiene que comparar más de dosfracciones, se pueden comparar transformando las fracciones a decimal, o bien, igualando denominadores determinando su mínimo común múltiplo. Ejemplo: Ordenar:

a=

4 3 2 ;b= ;c= 5 4 3

El m.c.m entre los denominadores es 60, amplificando las fracciones:

a=

4 48 3 45 2 40 ;b= = ;c= = = 5 60 4 60 3 60 40 45 48 , por lo tanto: c < b < a < < 60 60 60

Se deduce que:

En la siguientedirección, encontrarás una presentación que trata de los números reales (clasificación) y conocimientos básicos de potencias. http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93043.html

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2. POTENCIAS DE BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO Por definición, se tienen las siguientes igualdades:

⎛a⎞ a ⎜b⎟ = b ⎝ ⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ =1 ⎝b⎠ b ⎛a⎞ ⎜b⎟ = a ⎝ ⎠ ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠
−n −1 0

1

⎛b⎞ =⎜ ⎟ ⎝a⎠

n...