historia

Adjunta de una matriz cuadrada.
Dada una matriz  Anxn = (aij)  se define la adjunta de  A  como la traspuesta de la matriz de sus cofactores.

Adj(A) =

 
Ejemplo:
 

 

 

 
A31 =1,A32 = -1 , A33 = -2
 
De donde la adjunta de A es:
 
  
 
Teorema
Sea  A una matriz nxn. Entonces A Adj(A) = | A | In
 
Demostración:

Sean A = y A’ = ( | A’ | = 0, pues A’ tienedos filas iguales)
Por un lado | A’ |, desarrollando por la fila j, es igual a: ai1 Aj1 + ... + ain Ain = 0 (*)
Por otro lado vamos a ver cuáles son las entradas del producto

A Adj(A) =La fila i de A es (ai1, ... , ain) y las columnas i y j de Adj(A) son:

La columna i-ésima de Adj(A) es: y la j-ésima:
 
se sigue que las entradas en la diagonal (i, i) delproducto  A Adj(A) son de la forma:

(a1i ... ain) = ai1 Ai1 + ... + ain Ain = | A |, pues se trata del desarrollo del determinante

de A por la fila i-ésima.
 
y las entradas i, j fuera de ladiagonal (i diferente de j):

(a1i ... ain) = ai1 Aj1 + ... + ain Ain = | A’ | = 0 (ver *), de donde se sigue la tesis de

este teorema.

Lema
Sea A  Mn. Entonces:
i) Si existen matrices By C ambas nxn tales que BA = I = AC, entonces B = C y A es invertible (de esta proposición se sigue que la inversa es única).
ii) Si existe B  Mn tal que BA = I, entonces A esinvertible.
iii) Si existe B  Mn tal que AB = I, entonces A es invertible.
Demostración:
i) Sean B y C dos matrices nxn tales que BA = I =AC, entonces B = BI = B(AC) = (BA) C = I C = C.ii) Si existe B  Mn tal que BA = I, entonces el sistema homogéneo AX = 0 tiene sólo la solución trivial, ya que si Y es solución de AX = 0, entonces, multiplicando por B por la izquierda aambos lados de AY = 0, se tiene Y = IY = (BA)Y = B(AY) = B0nx1 = 0nx1. Por el teorema creciente A es invertible.
iii) Si existe B  Mn tal que AB = I, entonces, por la parte ii) B es...