Historia

´ ´ ORIGEN Y DESARROLLO HISTORICO DEL CALCULO INFINITESIMAL
˜ ´ M.C. Munoz-Lecanda 1 , N. Roman-Roy 2 Departamento de de Matem´tica Aplicada y Telem´tica a a C/ Jordi Girona 1; Edificio C-3, Campus Norte UPC E-08034 BARCELONA

1 2

MATMCML@MAT.UPC.ES MATNRR@MAT.UPC.ES

Contents
1 Introducci´n o 2 Origen hist´rico: los problemas o 2.1 2.2 2.3 2.4 El problema de las tangentes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de m´ximos y m´ a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Otros problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 5 5 7 9 9

3 Newton y Leibnitz 3.1 3.2 3.3 3.4 El c´lculo seg´nNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a u El c´lculo seg´n Leibnitz a u

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Comparaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 o Desarrollos inmediatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 13

4 El siglo XVIII4.1

Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 Sobre el concepto de funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 o Tratamiento de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Derivadas y diferenciales de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 16Sobre la f´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 o Otros temas tratados por Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 4.3

Problemas con las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Controversias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 19 1

5 El sigloXIX

´ M.C. Mu noz-Lecanda, N. Roman-Roy: Origen y desarrollo... 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

2

Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Derivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 o Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 oConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Los n´meros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 u

Chapter 1

Introducci´n o
Es tradicional decir que Newton y Leibnitz inventaron el c´lculo infinitesimal. Normalmente se a atribuye a personas concretas las invenciones concretas, pero no los m´todos generales,que suelen e ser resultado de la evoluci´n hist´rica de los problemas y de las soluciones particulares que se o o han ido dando a cada uno. Sin embargo, el c´lculo infinitesimal se atribuye en concreto a los a mencionados investigadores, habiendo sido el m´todo que ha posibilitado la resoluci´n de un mayor e o n´mero de problemas dispares desde su descubrimiento. u Desde este punto de vista, eltrabajo de Newton y Leibnitz es extraordinario pero no es el unico. ´ La situaci´n es semejante a la atribuci´n a Einstein de la teor´ de la Relatividad. Evidentemente o o ıa su trabajo es enorme; pero su labor, como la de los anteriores, tiene el m´rito de haber sido de una e s´ ıntesis y de una imaginaci´n inmensa para conseguir unir todos los problemas en uno y dar una o sola soluci´n a todosellos. o Este es el punto de vista que se va a seguir en este corto repaso del desarrollo hist´rico del o c´lculo. Hay unos nombres concretos, pero, sobre todo, est´ el trabajo de muchas personas que a a hacen evolucionar el conocimiento humano. Inicialmente se van a analizar los problemas que dieron origen al c´lculo y otros problemas de la a ´poca que, aunque no eran exactamente de c´lculo,...