Historia

Argumento de un numerpcomplejo
Se llama argumento del numero complejo z = a + bi al angulo 0 que forma el vector OM que representa a z y el semieje positivo real. Lo indicaremos asi: Arg (z).
Elargumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian en tres si por un numero entero de vueltas:
Arg (z) = 0 + 2k (k z )
Llamaremos Argumento Principal al que estacomprendido en elintervalo [ 0,2.

Forma trigonométrica de un complejo
En la figura de la derecha esta representado el complejo z = a + bi .
La longitud del vector OM que representa a z es lzl osimplemente r.
Podemos observar que el valor de a en la figura es: a= r cos 0
Y el valor de b es: b = r sen 0
Si sustituimos estos valores en la expresión z = a + bi
Obtenemos, al simplificar, laforma trigonométrica de un numero complejo z = r cos 0 + r sen 0 i
Z= r (cos 0 + i sen 0 )
Se acostumbra escribir la forma trigonométrica de una manera abreviada asi: Z= r Cris 0
Cis 0 = (cos 0 + isen 0)
Paso de forma binomica a forma trigonométrica
Para obtener la forma trigonométrica de un complejo dado en forma binomica ( z = a + bi) basta determinar el modulo r y el argumento 0.
Sabemosque el modulo se halla por la relación
Para hallar el argumento, observemos que en la figura de arriba se cumple que
De donde:
NOTA: es importante verificar, al determinar el argumento, en quecuadrante queda este. En los ejemplos que siguen veremos que esto se hace con facilidad.
Ejemplo1: Dado el complejo z = - expresarlo en forma trigonométrica.
Determinamos el modulo:Determinamos el argumento:
Determinamos en que cuadrante se encuentra 0: en un sistema de ejes señalamos la parte real hacia la izquierda (por ser negativa) y la parte imaginaria hacia arriba (por serpositiva).
0 es por tanto un angulo del segundo cuadrante.
El argumento será en definitiva:
Y el numero complejo que nos dieron es, puesto en forma trigonométrica:
Ejemplo 2: Expresar z en forma...