historia

ESTUDIO DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (s.e.l.)

Para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales empleamos dos herramientas matemáticas que nos van a facilitar los cálculos : las matrices y los determinantes.
Las matrices y los determinantes nos permiten expresar de una manera clara, concisa y elegante la condición de compatibilidad de los sistemas de ecuaciones lineales (s.e.l.) -Teorema de Rouché-Fröbenius -.
Cuando estudiamos un s.e.l. debemos preguntarnos :
¿ Tiene soluciones el sistema ?, es decir, ¿ es compatible ?
Si tiene soluciones ¿ cuántas y cúales son ?
Visto esto, estudiar un sistema es :
DISCUTIR = Averiguar si un s.e.l. tiene solución, y si tiene, ver si es única o no.
RESOLVER = Hallar la solución si es única, o las soluciones si son infinitas.
ESTUDIAR= DISCUTIR + RESOLVER
Preliminares :
La ecuación  2x - 3 = 0  se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.
La ecuación  -3x + 2y = 7  se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación  x -  2y + 5z  = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números  s1, s2, s3, ..., sn  que hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientesvalen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.
Sistemas de Ecuaciones Lineales :
Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultáneamente varias ecuacioneslineales para hallar las soluciones comunes a todas ellas. También resultan muy útiles en geometría (las ecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiar la posición relativa de estas figuras geométricas en el plano o en el espacio).
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

un sistema así expresado tiene  "m"  ecuaciones y  "n"  incógnitas,
donde  aij  son números reales, llamados coeficientes del sistema,
los valores  bm  son números reales, llamados términos independientes del sistema,
las incógnitas  xj  son las variables del sistema,
y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir lasincógnitas  x1, x2, ... , xn  por los valores  s1, s2, ..., sn   se verifican a la vez las  "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma :

Dode :
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión  m×n  formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por  X  a la matriz columna formada por las incógnitas.Denotamos por  B  a la matriz columna formada por los términos independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión  m×(n+1)  a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por  A*, es decir

Clasificación :
Atendiendo a sus soluciones :

Atendiendo a sus términos independientes :Discusión de un s.e.l. :
Generalmente, para la discusión de un s.e.l., utilizamos el Teorema de Rouché-Fröbenius.
« Un s.e.l. es compatible si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con la columna de los términos independientes. Si estos rangos son distintos el sistema es incompatible. »
Es decir, la condición necesaria y suficiente para que un...