historia

Maximizaci
ón de la
Maximización
Utilidad
Microeconomía
Eco. Douglas Ramírez

Los elementos básicos
• Hemos descrito hasta el momento los elementos
básicos del problema de decisión del consumidor
– Su conjunto de elección
– Sus restricciones
– Sus preferencias
• Dados unos precios y una riqueza, el comportamiento
del consumidor consiste en elegir el mejor plan de
consumo posible
•El i-ésimo consumidor elige un consumo xi є B(p,M) que
sea un elemento máximo de la relación de preferencia
≿i

1

El problema
• El problema de elección se puede transformar en
otro equivalente, de más fácil manejo, a través de la
descripción de los gustos del consumidor mediante
una función continua que representa sus
preferencias a la cual llamamos Función de Utilidad
• Mediantelos axiomas se permite establecer una
relación de equivalencias sobre el espacio de
mercancías (Xi ⊂ RK) donde se define, dentro del
conjunto de consumo, los elementos o clases de
indiferencias a las cuales se le asocia un numero real
de modo que a una clase de indiferencia preferida a
otra se le asocia un numero real mayor.

Los bienes económicos
X2
Se prefiere
y0 ≥ x 0
Y02
X02

X01Y01

X1

El área sombreada representa las combinaciones que se prefieren
(y0 ≥ x0) inequívocamente a la canasta (x01, x02). Los individuos
prefieren una cantidad mayor de cualquier bien a una menor.

2

La función de utilidad como
preorden
• En términos más precisos, dado un conjunto
completamente preordenado por una relación de
preferencia se define una función de valor realque permite su representación numérica, esta
representación real se designa con el nombre de
Función de Utilidad
• Definición: Se dice que una función Ui: Xi → R
representa el preorden de preferencias ≿ i cuando
para todo xi, yi є Xi se verifica:
– Ui(xi) ≧Ui(yi) ↔ xi ≿ i yi

Comentarios
• Sí f: R → R es una función estrictamente
creciente, entonces
• : f(Ui(xi)) ≧ f(Ui(yi)) ↔ Ui(xi) ≧Ui(yi) ↔ xi ≿ i yi
• De modo que la composición de las funciones f y Ui
también representan las mismas preferencias, lo
cual implica que Ui no es más que una forma de
representar la relación de preferencias (≥ i) sin que
sus magnitudes concretas posean significación y la
magnitud Ui(xi) ― Ui(yi) nos dice que un consumo es
mejor o igual que otro y por tanto se puede
interpreta como una medidade “cuanto mejor”

3

Comentarios
• Bajo los supuestos establecidos (en particular al
tomar Xi=RK+, que es un conjunto no numerable),la
existencia de tal función no es un problema menor
• El supuesto de continuidad de la función de utilidad
permite convertir al problema de elección de
consumo en un problema de optimización clásico
Máx. Ui (xi)
s.a.
Xi є B(p,M)
• La solución de esteproblema es la demanda del
consumidor
Xid(p,M)

Teorema (Debreu,1959)
• Teorema (Debreu,1959): Sea ≿ i una
relación de preferencias definida sobre un
subconjunto convexo de Rk. La relación de
preferencia ≿ i puede representarse
mediante una función de utilidad continua
sí y sólo si la relación de preferencias, ≿ i,
es completa, transitiva y continua

4

Existencia de una funciónde utilidad
• Suponga que las preferencias ≿ i son
completas, reflexivas, transitivas y
estrictamente monótonas.
• Entonces existe una función de utilidad
continua U: RK+ → R la cual representa estas
preferencias
• Definición: Una función U: X → R es una
función de utilidad que representa una
relación de preferencias ≿ i si para todo x e
yєX
x ≿i y ↔ U(x)PU(y)

Definición
• Se suponeque las preferencias de los
individuos se representan por medio de una
función de utilidad de la forma
Utilidad =U(x1,x2,…, xn)
– Donde (x1,x2,…, xn) son las cantidades consumidas
de cada uno de los n bienes que podrían consumirse
en un periodo.

• Esta función es única salvo una transformación
que preserve el orden de las preferencias

5

Notación
• La función de utilidad se...