HISTORIAS DE CONJUNTOS

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Historias de conjuntos1
N. Ya. Vilenkin

1. ALGUNAS PROPIEDADES EXTRAORDINARIAS DE LOS CONJUNTOS INFINITOS
No sería exagerado decir que las matemáticas todas derivan del concepto de infinito. En
matemáticas, como norma, los objetos individuales no interesan (un número, una figura
geométrica), más bien, es importante toda la clase de dichos objetos: el total de números naturales,
eltotal de triángulos, etc. Pero cada una de estas colecciones tiene un número infinito de objetos
individuales.
Por esta razón, los matemáticos y los filósofos han estado siempre interesados en estudiar el
concepto de infinito. Este interés tiene lugar desde el momento en que se esclarece que cada
número natural tiene otro que le sigue; es decir, que la sucesión de números naturales nuncatermina. Los primeros intentos de analizar el infinito condujeron a numerosas paradojas.
Por ejemplo, el filósofo griego Zenón utilizó el concepto de infinito para probar que el
movimiento no existía. Zenón decía: para que una flecha dé en un blanco debe recorrer, primero, la
mitad de la distancia que lo separa de éste; pero, antes de recorrer ésta, debe de desplazarse a través
de la cuarta,octava, etc., partes de dicha distancia. Dado que este proceso de partir a la mitad no
tiene fin (he aquí el concepto que nos ocupa), la flecha nunca sale del arco. Zenón probó, de
idéntica manera, que el veloz Aquiles nunca alcanzaría a una lenta tortuga.
Estas paradojas y sofismas provocaron que los antiguos matemáticos griegos rehusaran todo
contacto con la noción de infinito y que la excluyerande sus argumentos; supieron que las figuras
geométricas estaban constituidas por una cantidad infinita de partes diminutas e invisibles (átomos).
Según esto sería imposible, por ejemplo, dividir un disco en dos partes iguales, el centro tendría que
pertenecer a una de ellas, pero esto contradiría su igualdad.
En la Edad Media, fue de interés por su relación con el problema de cuántos ángelespodrían
sentarse en la punta de un alfiler, si una infinidad o unos cuantos.
Con la fundación, en el siglo XVII, del Análisis Matemático, la noción de infinito tuvo una
aplicación más amplia: conceptos tales como “cantidad infinitamente grande” o “infinitamente
pequeña” se usaron, a cada momento, en las disquisiciones matemáticas. Sin embargo, los
conjuntos con una infinidad de elementos nofueron estudiados; lo que se analizaba eran las
cantidades que variaban de manera tal, que eventualmente podían ser mayores que cualquier
número dado. Tales cantidades recibieron el nombre de “potencialmente infinitamente grandes”
queriendo decir con esto que podían hacerse tan grandes como se quisiera (potencia: posibilidad).
Solo a mediados del siglo XIX apareció, en el análisis el concepto deinfinito, el estudio de
los conjuntos con tal naturaleza; los fundadores de la Teoría de los Conjuntos Infinitos fueron el
sabio checo B. Bolzano (desgraciadamente su trabajo más importante no fue publicado sino hasta
muchos años después de su muerte en 1848) y el matemático alemán G. Cantor. Resulta curioso
saber que ambos están de acuerdo con el conocimiento “científico” de losescolásticos, pero fueron
capaces de superar dicha escuela y convertir la Teoría de Conjuntos en una importantísima parte de
las matemáticas.
El objetivo fundamental de Bolzano y Cantor fue el análisis de las propiedades de los
conjuntos infinitos; las de los finitos eran bien conocidas por sus predecesores. Encontraron que las
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El presente texto es un fragmento del libro Stories About Sets de N.Ya.Vilenkin.

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características de ambos tipos de conjuntos eran completamente distintas: muchas operaciones
imposibles en los finitos se efectuaban con facilidad en los otros. Por ejemplo: suponga que en un
hotel no puede haber más de un huésped por habitación y que estando lleno, puede usted alojarse en
él. ¿Puede hacerlo? ¡Claro que no!, pero esto se debe a que solo hay una cantidad...