hitla

Nombres complexos
1. Unitat imaginària
Definim la unitat imaginària, i , com el nombre que compleix:

i2 = - 1

2. Nombre imaginari
Tot nombre multiplicat per i : 2i , -4i , xi
3. Nombrecomplex
Direm nombre complex a la suma d’un nombre real i un nombre
imaginari: 3 + 7i , -4 + 2i , 5 – 8i , -6 – 9i , a + bi
Direm nombre complex a tot nombre de la forma x + yi amb x , y
nombresreals.
Tot nombre real, x, és un nombre complex perquè es pot expressar de la
manera següent:
x + 0i
Els nombres imaginaris no són nombres reals.
Els nombres complexos ens permeten resoldre aquellesequacions que, en
principi, no tenen solució:
2x2 + 32 = 0 ⇒ x2 = -16 ⇒ x = ±4i
Els nombres complexos es poden representar
gràficament amb uns eixos de coordenades amb l’eix
de les abscisses elsnombres reals i l’eix de les
ordenades els nombres imaginaris:

El complex 2 + 3i es representa:

En general un complex x + yi :
Aplicant trigonometria, tenim:
x = r·cos α
y = r·sin α

r x + yi = r·cos α + i r·sin α
x + yi = rα

Nombres complexos 
 

Pàgina 1 

Els nombres complexos es poden escriure en tres formes:
•
•
•

Binòmica
Trigonomètrica
Polar

x + yi
rcosα + i rsin α = r(cos α + i sin α)
rα

També a vegades podem escriure (x, y) on x és la part real i y la part
imaginària.
r és el mòdul del nombre complex i α és l’argument.
r=

α = 

 

 Els nombres complexos que tenen la mateixa part real i la part imaginària
canviada de signe s’anomenen complexos conjugats. Exemple:
3 + 2i és conjugat de 3 – 2i
-4 – 2i és conjugat de -4 + 2iEls complexos que tenen canviat de signe tant la part real com la part
imaginària s’anomenen complexos oposats. El complex oposat a – 3 + 2i
és 3 – 2i.
Exercicis
1.

Calcula:
i2
i6
i10
i67i3
i7
i11
i122

i4
i8
i12
i213

i5
i9
i13
i1215

2.

Explica quin és el criteri per calcular qualsevol potència de i.

3.

Escriu en forma polar els nombres complexos...