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Laboratorio de física 1

Introducción al método de mínimos cuadrados
Interpolación y ajuste de curvas
En ocasiones se tienen una serie de datos y se desconoce la función que los
ha generado y se desea saber cuál es ésta. Lo primero que se debe hacer es
graficar los puntos según sea el caso, para conocer su comportamiento y de
esta forma decidir cuál método es más apropiado utilizar confines predictivos.
Existen varios métodos aquí nos dedicaremos únicamente a mínimos
cuadrados.

Ajuste para una recta
La nube de puntos de una representación de datos en papel milimetrado nos
permitía visualizar la relación entre dos variables x e y.

Al representar el diagrama de dispersión de los datos podemos encontrar las
siguientes situaciones:
• Distribuciones estadísticas para lasque la nube de puntos se dispone de tal
forma que existe una función matemática cuyos puntos son una parte de su
representación gráfica.
• Sin coincidir exactamente sus puntos con las de una gráfica de una función
matemática, se aproximan a ella con mayor o menor intensidad.
• La nube de puntos presenta un aspecto tal que no existe concentración de
puntos hacia ninguna gráfica matemática,distribuyéndose de una forma
uniforme en una región del plano.
En el primer caso se dice que existe una dependencia funcional o exacta entre
las variables x e y, es decir existe una función matemática tal que y = f(x). En el
segundo caso se dice que existe una dependencia estadística o
aproximadamente entre las dos variables, y≅f(x). Y en el último caso diríamos
que las variables sonindependientes.
Es el segundo caso del que se ocupa la teoría de la regresión.
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Las técnicas de regresión tienen por objeto modelizar, es decir, encontrar una
función que aproxime lo máximo posible la relación de dependencia estadística
entre variables y predecir los valores de una de ellas: y (variable dependiente)
a partir de los de la otra (o las otras):x(variables(s) independiente(s)). La
regresión es lineal cuando el modelo función de regresión seleccionado es una
recta. En cualquier otro caso se dice regresión no lineal.
El procedimiento será:
1. Elegir un tipo de función o curva que creamos que mejor relaciona las dos
variables; esto lo podemos hacer observando la nube de puntos.
2. Obtener la ecuación de la curva, de entre las infinitas dedicho tipo que hay
en el plano, que mejor se adapte al conjunto de puntos. El objetivo de
obtener esa ecuación será predecir el valor de la variable y dado un valor x0
de la variable x.
3. Obtener una medida del grado de esta asociación o correlación. Esto me
dará la fiabilidad de las predicciones que haga con esta ecuación.
El segundo punto del procedimiento se conoce como el problema delajuste y
se pueden emplear diferente métodos matemáticos para ello, tenemos:
•
•
•
•

Método de los mínimos cuadrados.
Método de los polinomios ortogonales.
Método de los momentos.
Método de la curva logística.

Ajuste de curvas por mínimos cuadrados
La regresión por mínimos cuadrados, es una técnica cuyo objetivo es derivar
una curva que minimice la discrepancia entre los puntos y lacurva. Algunas
suposiciones estadísticas inherentes en los procedimientos por mínimos
cuadrados lineales son:
1. Cada x tiene un valor fijo, no es aleatorio y es conocido sin error.
2. Los valores y son valores aleatorios independientes y todos tienen la
misma varianza.
3. Los valores de y para una x dada deben ser normalmente distribuidos.
4. La regresión de y contra x no es la misma que lade x contra y.

Método de los mínimos cuadrados.
Dados los puntos (x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn), supongamos que hemos elegido una
función y=f(x|a1,...,ar) que queremos ajustar a ese conjunto de puntos y en la
que intervienen r parámetros (a1,...,ar). Consideramos la nube de puntos
correspondiente:

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Para cada valor de x, (xi ) tenemos dos valores...