Hoffmansoluciones

ALGEBRA LINEAL
1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita sobre F y W cualquier
subespacio. Demuestre que existe U subespacio de V tal que V =
U ⊕ W.
Soluci´
on: Sea {w1 , ..., wk } una base W , completamos de tal manera que {w1 , ..., wk , vk+1 , ..., vn } sea una base de V y consideramos el
subespacio U = {vk+1 , ..., vn } . Si x ∈ U ∩ W entonces
x = α1 w1 + ... + αk wk ,

x = βk+1 vk+1+ ... + βn vn

Entonces,
0 = α1 w1 + ... + αk wk − βk+1 vk+1 − ... − βn vn
por ser {w1 , ..., wk , vk+1 , ..., vn } una base entonces
α1 = ... = αk = βk+1 = ... = βn = 0 ⇒ x = 0
Entonces U ∩ W = {0} y por lo tanto V = U ⊕ W
2. Sea T el operador lineal sobre R3 representado en la base ordenada
can´onica por la matriz


2 0 0
 0 2 0 
0 0 −1
Demostrar que T no tiene vertor c´ıclico. ¿Cu´al es elsubespacio T c´ıclico generado por el vector (1, −1, 3)?
Soluci´
on: El polinomio caracteristico de la matriz es
f (x) = (x + 1)(x − 2)2
y el polinomio minimal es
m(x) = (x + 1)(x − 2)
(compruebelo usted haciendo las cuentas!)
Sabemos que, T tiene un vector c´ıclico si, y s´olo si, los polinomios
caracter´ıstico y minimal de T son id´enticos. Por lo tanto, T no posee

1

un vector c´ıclico.
Porotro lado,
Z((1, −1, 3), T ) =
=
=
=

{T k (1, −1, 3) : k ≥ 0}
{(1, −1, 3), T (1, −1, 3), T 2 (1, −1, 3)}
{(1, −1, 3), (2, −2, −3), (4, −4, 3)}
{(1, −1, 3), (2, −2, −3)}

3. Sea T el operador lineal sobre C3 representado en la base ordenada
can´onica por la matriz


1 i 0
 −1 2 −i 
0 1 1
Hallar el T -anulador del vector (1, 0, 0). Hallar el T -anulador de (1, 0, i).
Soluci´
on: Notemos que
Te1 = (1, −1, 0),

T 2 e1 = T (1, −1, 0) = (1 − I, −3, −1)

entonces, Z(e1 ; T ) = C3 . Sabemos que, si U es el operador lineal en
Z(v; T ) inducido por T , entonces el polinomio minimal de U es el T anulador de v. Luego, Pe1 (x) = mT (x). Haciendo algunas cuentas se
obtiene que
PT (x) = (x − 1)(x − α)(x − β)
√
√
donde α = 23 + 12 1 − 8i y β = 32 − 12 1 − 8i.
Por el teorema de Cayley-Hamilton seconcluye que
mT (x) = PT (x) = Pe1
Por otro lado, note que T (1, 0, i) = (1, o, i) = v entonces Z(v; T ) = v
y adem´as
grado(Pv (x)) = dim(Z(v; T )) = 1
y es tal que Pv (T (v)) = 0 se concluye que
pv (x) = (x − 1)
4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on n sobre el cuerpo F y sea N
un operador lineal nilpotente sobre V . Supongase que N n−1 = 0 y sea
α un vector cualquiera de V de modo que N n−1 α= 0. Demostrar que
2

α es un vector c´ıclico de N . ¿Cu´al es exactamente la matriz N en la
base orednada {α, N α, ..., N n−1 α}.
Soluci´
on: La afirmaci´on es que B = {α, N α, ..., N n−1 α} es un conjunto linealmente independiente. En alguna gu´ıa preterita hemos resuelto este problema, sino lo recuerda, observe que: debemos demostrar
que si:
β1 α + β2 N α + ... + βn N n−1 α = 0
Entonces β1 =β2 = ... = βn = 0
En efecto, aplicando a la igualdad anterior N n−1 obtenemos que:
0 = N n−1 (0) = N n−1 (β1 α + β2 N α + ... + βn N n−1 α)
= β1 N n−1 α + β2 N n α + ... + βn N 2n−1 α
= β1 N n−1 α
como N n−1 α = 0 entonces β1 = 0, es decir,
β2 N α + ... + βn N n−1 α = 0
Procediendo de la misma manera, obtenemos que:
β1 = β2 = ... = βn = 0
Por lo tanto, Z(α; N ) = B = V

0
 1


B
[N ]B =  0
..
 .
0

y tenemos que:

0 ··· 0 0
0 ··· 0 0 

1 ··· 0 0 

.. . . .. .. 
. . . 
.
0 ··· 1 0

5. Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita n. Sea T una funci´on
lineal de V en V , diagonalizable. Demuestre
i) Si T tiene un vector c´ıclico entoces T tiene n valores propios distintos.
ii) Si T tiene n valores propios distintos y {v1 , v2 , ..., vn } es una base
de vectores propios de V ,entonces w = v1 + v2 + ... + vn es un
vector c´ıclico de T .
Soluci´
on:
3

i) Si T posee un vector c´ıclico entonces PT (x) = mT (x). Por ser T
diagonalizable entonces
mT (x) = (x − c1 ) · · · (x − ck )
donde c1 , ..., ck son elmentos distintos. Por lo tanto T tiene n
valores propios distintos.
ii) Supongamos que w = v1 + ..., vn no es un vector c´ıclico de T
entonces {w, T w, ..., T n−1 w}...