Hoja de fórmula

´
Hoja de formulas
oficial

Probabilidad y Estad´ıstica

30 de octubre de 2003

´ aquellas formulas
´
Nota: Esta gu´ıa pretende ser una ayuda para recordar solo
que de otro
modo pueden ser dif´ıciles de memorizar para un examen. De ningun
´ modo se pretende dar un
´
resumen de todas las formulas,
y mucho menos de todos los temas de la materia. Se supone
´
´
que el alumno ha estudiado laasignatura y no necesita tener anotadas las formulas
basicas.

´
Calculo
combinatorio
Variaciones y combinaciones
Considerando el orden
(Variaciones)
Vm,n =

Simple

m!
(m−n)!

Sin considerar el orden
(Combinaciones)
Cm,n =

Vm,n = mn

´
Con repeticion

m
n

Cm,n =

m!
(m−n)!n!
(m+n−1)!
(m−1)!n!

=

Permutaciones
Simple:
Con elementos repetidos:

Pn = n!
Pn[r,s,t...] =

n!
r! s! t! ...

Variablesaleatorias
´ f (X = x) o simplemente f (x) denota la funcion
´ densidad de probabilidad de la
Notacion:
´ de probabilidad de
variable continua X evaluada en el valor x. P (X = x) o P (x) es la funcion
la variable discreta X.
´
Para no repetir innecesariamente, algunas de las ecuaciones se expresan solamente
para
variables continuas. Para variables discretas, reemplazar integrales por sumatorias.Esperanza
E[ϕ(x)] =

∞

ϕ(x) f (x) dx

E[ϕ(x, y)] =

−∞

Media:
Varianza:
Momento de orden r:
Momento centrado de orden r:
Covarianza:
´
Coeficiente de correlacion:
´ y | x:
L´ınea de regresion

∞

∞

−∞

−∞

ϕ(x, y) f (x, y) dx dy

µx = E[x]
σx2 = E[(x − µx )2 ]
Mr = E[xr ]
M Cr = E[(x − µx )r ]
Cxy = E[(x − µx )(y − µy )]
ρxy =

Cxy
σx σy

µy | x = E[y | x]

1

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Probabilidad yEstad´ıstica

Propiedades
X, Y : variables aleatorias; a, b, c: constantes.
σx2 = E[x2 ] − µ2x
Cxy = E[x y] − µx µy
E[a x + b x + c] = a E[x] + b E[y] + c
2
2 2
2 2
σ(a
x+b x+c) = a σx + b σy + 2 a b Cxy

Otras definiciones
Mediana:
Modo o Moda:

M edx = {x/F (X = x) = 1/2}
´
M odx = {x/f (X = x) es maximo}

Mezcla de n variables
Sea un conjunto de n variables aleatorias Xi , donde cada una seasocia con el resultado
Ri de un experimento aleatorio. Siendo P (Ri ) la probabilidad de ocurrencia de cada resultado,
n
y donde i=1 P (Ri ) = 1:
n

f (XM = x) =

f (Xi = x) P (Ri )
i=1

Propiedades
n

E[XM ] =

E[Xi ] P (Ri )
i=1

n
2
σX
=
M

2
P (Ri ) σX
+ (E[Xi ] − E[XM ])2
i
i=1

n=2:

2
σX
M

=

2
σX
1

2
P (R1 ) + σX
P (R2 ) + (E[X1 ] − E[X2 ])2 P (R1 ) P (R2 )
2

Cambio de variable
´ cambiode variable Y = ϕ(X):
Funcion
n

f (Y = y) =
i=1

f (X = xi )
|ϕ (xi )|

´ y = ϕ(x).
donde xi son las n soluciones de la ecuacion

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Extremos
´
´ de
Sean las v.a. X1 , X2 , . . . , Xn independientes e identicamente
distribuidas, con funcion
´ F (X = x) y funcion
´ densidad f (X = x).
distribucion
´
Maximo
´ cambio de variable XM = m´Funcion
ax{X1 , X2 , . . . , Xn }:
F (XM = y) = [F (X = x)]n
f (XM = y) = n f (X = x) [F (X = x)]n−1
M´ınimo
´ cambio de variable Xm = m´ın{X1 , X2 , . . . , Xn }:
Funcion
F (Xm = x) = 1 − [1 − F (X = x)]n
f (Xm = x) = n f (X = x) [1 − F (X = x)]n−1

Variables particulares
Proceso Bernoulli
p
n
r

´
Parametros:

Variable

´
Funcion

Binomial

P (r | p, n) =

n
r

´
probabilidad de exito
en un ensayocantidad de ensayos
´
cantidad de exitos

pr (1 − p)n−r

´
Geometrica

P (n | p) = p (1 − p)

Pascal

P (n | p, r) =

Beta

f (p | n, r) =

n−1

n−1
r
n−r
r−1 p (1 − p)
(n+1)!
pr (1 − p)n−r
r! (n−r)!

Rango

Media

Varianza

0≤r≤n

np

n p (1 − p)

n≥1

1
p

n≥r

r
p

0≤p≤1

r+1
n+2

1−p
p2
1−p
r p2
(r+1) (n−r+1)
(n+2)2 (n+3)

Propiedades:
´
´
La suma de n variables Bernoulli de parametro
p generauna variable binomial de parametros n y p.
´
´
La suma de r variables geometricas
de parametro
p genera una variable Pascal de
´
parametros
p y r.

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Proceso Poisson
λ
t
k

´
Parametros:

´
tasa de exito
en el continuo
cantidad de continuo
´
cantidad de exitos

´
Funcion

Variable

k

(λ t) e
k!

P (k | λ, t) =

Poisson
Exponencial

f (t...