Hoja de matematica

Ecuaciones de una variable

Un excelente matemático griego fue Diofanto de Alejandría, él hizo contribuciones en varias áreas de las matemáticas, tal vez su trabajo más importante lo hizo en lo que ahora se conoce como teoría de números.

Se sabe poco de él, pero algunos detalles de su vida se conocen a través, del epitafio que, como un homenaje, se inscribió en su tumba. Una traducciónlibre del original, es la siguiente:

“Transeúnte. Ésta es la tumba de Diofanto, es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida, después de la decimosegunda parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aun una séptima parte de su vida antes de casarse, y cinco años después tuvo un precioso sueño que, una vezalcanzada de la edad de su padre, pereció. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad”.

Utilizando la información en el epitafio de Diofanto, podríamos responder las siguientes preguntas:

¿A qué edad falleció Diofanto?
¿Cuántos años vivió antes de casarse?
¿Cuántos años vivió su hijo?
¿Qué edad tenía Diofanto cuando nació su hijo?TEMARIO

2.1 ECUACIONES LINEALES
2.2 APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES
2.3 ECUACIONES CUADRATICAS
2.4 APLICACIONES DE ECUACIONES CUADRATICAS
REPASO DEL CAPITULO



Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra uno o más variables y el símbolo de igualdad =.
Las siguientes proposiciones son ejemplos deecuaciones.
2x – 3 = 9 – x (1)
y² - 5y = 6 – 4y (2)
2x + y = 7 (3)
____a______ = s (4)
1 – r
En la ecuación (1), la variable es la letra x, mientras que en la ecuación (2), es y. En la ecuación (3), tenemos dos variables, x y y. No permitiremos que las variables de cualquier ecuación tomen valores quehagan que una expresión que ocurra en la ecuación quede indefinida. Por ejemplo, en la ecuación (4), r no puede ser 1 pues esto producirá una división entre cero.
Las expresiones separadas por el símbolo de igualdad se denominan lados (miembros) de la ecuación: por separado se llaman lado izquierdo (primer miembro) y el lado derecho (segundo miembro).
Las ecuaciones que solo contienen constantesy no tienen variables pueden ser proposiciones verdaderas o falsas. Por ejemplo:
3 + 2 = 5 y
Son afirmaciones verdaderas, mientras que
2 + 5 = 6 y =
Son proposiciones falsas.
Una ecuación que se refiere a una variable, por lo regular es una proposición válida para algunos valores de la variable, mientras que es falsa para otros valores de la variable. Por ejemplo,consideremos la ecuación:
2x – 3 = x + 2
Si x toma el valor 5, esta ecuación se reduce a:
2(5) – 3 = 5 + 2 o bien 10 – 3 = 5 + 2

Que es una proposición verdadera. Por otra parte, si x toma el valor 4, obtenemos.
2(4) – 3 = 4 + 2 o bien 5 = 6
Que es una proposición falsa.
Un valor de la variable que haga que la ecuación sea una proposición cierta se denomina raíz o solución de la ecuacióndada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.
Así por ejemplo. 5 es una raíz de la ecuación 2x -3 = x +2. De manera similar.
-2 es solución de la ecuación y² + 3y o 6 + 4y porque cuando – 2 sustituye a y en la ecuación obtenemos
(-2)² + 3(-2) = 6 + 4(-2)
O bien 4 – 6 = 6 -8 que es una proposición verdadera.
En forma análoga. 5 no es una raíz de la ecuación t² + 2 t= 6 +3t pues cuando 5 reemplaza a t, se obtiene
(5)² + 2(5) = 6 + 3(5)
O bien 25 + 10 = 6 + 15 que no es una proposición verdadera.
A menudo estaremos interesados en encontrar las raíces de alguna ecuación dada (es decir, en determinar todos los valores de la variable que transforman la ecuación en una proposición verdadera). El proceso de encontrar las raíces se denomina resolver la ecuación. Al...