HOKA

Unidad 1: N´meros Complejos
u
1.1

Introducci´n
o

Adem´s de los conjuntos de n´meros naturales, enteros, racionales y reales existe el conjunto de n´meros
a
u
u
complejos que juegan un rol importante no solo en matem´ticas sino en las ciencias en general. La primera
a
aplicaci´n matem´tica que tienen estos n´meros es que sirven para resolver la siguiente ecuaci´n1
o
a
u
o
x2 =−1.

(1)

´
Babilonios, Griegos y Arabes consideraban imposible la soluci´n de ´ste problema. El primer indicio de soluci´n
o
e
o
surgi´ con Girolamo Cardano (1501-1576) y Tartaglia (1499-1557). A partir de entonces y durante varios siglos,
o
los matem´ticos trabajaron con n´meros complejos sin confirmar su existencia. Actualmente son muy utilizados
a
u
en las aplicaciones pr´cticascomo en las corrientes el´ctricas y en la f´
a
e
ısica subat´mica.
o
Sabemos que esta ecuaci´n no tiene soluci´n real, ya que cualquier n´mero real elevado al cuadrado es no
o
o
u
negativo. Para resolver la ecuaci´n (1) introduciremos la unidad imaginaria, denotada por ”i”, con la siguiente
o
propiedad
i2 = −1,
como su cuadrado es negativo, la letra ”i” no representa un n´mero real.
uEl sistema num´rico que result´ al introducir la unidad imaginaria, se llama conjunto de n´meros complejos.
e
o
u

1.2

Forma bin´mica o can´nica
o
o

Definici´n 1 Sean a y b n´meros reales, definimos el n´mero complejo z como
o
u
u
donde i2 = −1.

z = a + b i,

´
Esta es la forma bin´mica o can´nica del n´mero complejo z. El conjunto de n´meros complejos se lo
o
o
u
udenota por C.
Notamos que si z = a + b i y b = 0 entonces el n´mero complejo es simplemente un n´mero real. Es decir,
u
u
que cualquier n´mero real x, se lo puede ver o mirar como un n´mero complejo de la forma z = x + 0 i. Esto
u
u
nos dice que el conjunto de n´mero complejos contiene al conjunto de n´meros reales. Por esto decimos que a
u
u
es la parte real y b la parte imaginaria deln´mero complejo a + b i.
u
La igualdad, suma, resta y multiplicaci´n de n´meros complejos, est´n definidas de modo que se conservan
o
u
a
las reglas del ´lgebra de n´meros reales. Esto es:
a
u
Definici´n 2 Dos n´meros complejos z = a + b i y w = c + d i son iguales cuando tienen la misma parte
o
u
real e imaginaria, es decir
z = w cuando a = c y b = d.
1.2.1

Operaciones entre n´ meroscomplejos
u

Producto por un real k :
Definici´n 3 Dado un n´mero complejo a + b i y un n´mero real k entonces
o
u
u
k (a + b i) = ka + (kb) i.
Ejemplo 1 Dado z = 2 − 3 i, calcular
1. (−2) z = (−2) 2 + ((−2) (−3)) i = −4 + 6 i.
2.
1

1
1
1
1
3
z = (2 − 3 i) = 2 + (−3) i = 1 − i.
2
2
2
2
2

Ver la soluci´n en Ejemplo 18, al final de la unidad.
o

1

´
Algebra 2011Suma:
Definici´n 4 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´meros complejos entonces
o
u
z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i.
Resta:
Definici´n 5 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´meros complejos entonces
o
u
z − w = (a − c) + (b − d) i.
Observaci´n. La resta de dos n´meros complejos se puede definir en forma similar al de n´meros reales, es
o
u
u
decir
z − w = z +(−1)w
(−1) w se lo denomina el opuesto de w.
Observaci´n. Todas las operaciones (suma, producto, producto y cociente) de n´meros complejos cumplen
o
u
propiedades an´logas a las correspondientes en n´meros reales, por ejemplo: asociativa, conmutativa, distribua
u
tiva, etc.
Ejemplo 2 Calcular:
1. (2 − 3i) + (−1 + 4i) = (2 − 1) + (−3 + 4) i = 1 + 1i = 1 + i.
2. (2 − 3i) − (−1 + 4i) = (2 − (−1))+ (−3 − 4) i = (2 + 1) + (−7) i = 3 − 7i.
Multiplicaci´n o producto:
o
Definici´n 6 Si z = a + b i y w = c + d i son dos n´meros complejos entonces el producto es:
o
u
z w = (a + b i) (c + d i) = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Observaci´n. Para multiplicar dos n´meros complejos podemos usar la definici´n anterior o la propiedad
o
u
o
distributiva y que i2 = −1, como lo muestra los...