hola chiquillas

Algunos problemas de EDP

(I) 1.- Clasificar

(a) (x2 - 1)u xx + 2yuxy - uyy = 0

(b) 2uxy + uxx + 5uyy = 0

(c)2uxy + (y – x)uyy = 0

2.- Resolver

uxx - 2uxz - 18uz + 9ux = 0 ,

u(0,z) = 1 , ux(0, z) = 0.

3.- Probar que la transformación z = y - (x2/2) , s = x

uxx + 2xuxy + x2uyy = 0 , a la ecuación de calor

4.- Determine todas las soluciones del problema :

reduce laecuación

uz = uss

y 2 u yy + 2 xyu xy + x 2 u xx = 0
talque u y ( x ,1) = x , u( x ,1) = 0.

5.-Resolver en una vecindad de (x,y ) = ( 0,0 )
2xuyy + 2uxx - 8uxy = (|4 - x| )-1/2 uy
u(0,y)= 0

, ux(0,y ) = 1

¿ Discuta como se pueden obtener las soluciones en la vecindad
de (5,5)? No la obtenga , solo explique con claridad.
6.- Considere la ecuación:
u tt = 9 u xx

,∀x ∈ ( − ∞,∞ ), ∀t ∈ ( − ∞ ,∞ ).

(i) Suponga que u ( x,0) = u t ( x,0) = 0 , ∀x tal que x − 2 ≥ 1. ¿Qué puede decir
de los valores de x tal que u ( x,2) ≠ 0 ?
0 si x − 2 ≥ 1
. Hallar u(x, 2).
1 si x −2 ≤ 1

(ii) Sean u ( x,0) = 0, ∀x ∈ (−∞, ∞) y u t ( x,0 = 
(II)

1.- Considere el problema de valores propios
y´´ -λy = 0 , y(0) + y(1) = 0 , y´(0) = 0
(a) ¿Es un problema de Sturn –Liouville?
(b) ¿Existen valores y funciones propias?
(c) Si existen funciones propias ¿Son ortogonales?

(III)
1.- Considere la E.D.P bidimensional

∆u + ( x + y)2 u = 0

(*)

(a) ¿ Admite (*)soluciones de la forma u(x, y) = X(x) Y(y) ?
(b) Escriba (*) en coordenadas polares. ¿ Admite ahora (*)
soluciones de la forma u(r,ϑ ) = R(r) T(ϑ ) ?
(Justifique su respuesta)
2.- Si se sabe que laecuación de Laplace
u rr +

1
1
u r + 2 uϑ ϑ = 0
r
r

Tiene una solución de la forma u(r,θ) = f(r)sen nθ, para algún número
natural n. Determine f(r) si se sabe : u(a, θ) =sen3θ, a > 0.u(0+,θ) = 0.
(IV)
1.-Resolver la ecuación de onda
utt = u xx
ux(0, t) = ux(π ,t) = 0 , u(x,0) = cos2x, ut(x,0) = cosx
2.-Resolver
uxx = ut + 6x + 4 , 0 < x < 1 , t > 0
ux(0, t) = 0 , ux(1, t ) = 7...