Hola Mundo

Regla del trapecio 
Corresponde al caso donde [pic] , es decir:  
[pic] 
donde [pic] es un polinomio de interpolación (obviamente de grado 1) para los datos:  
[pic]
Del capítulo anterior, sabemos que este polinomio de interpolación es:
[pic] 
Integrando este polinomio, tenemos que:
| |[pic]|
| |[pic] |
| |[pic] |
| |[pic]|
| |[pic] |

Por lo tanto, tenemos que: 
[pic] 
Que es la conocida Regla del Trapecio. Este nombre se debe a la interpretación geométrica que le podemos dar a la fórmula. El polinomio de interpolación para una tabla que contiene dos datos, es unalínea recta. La integral, corresponde al área bajo la línea recta en el intervalo [pic], que es precisamente el área del trapecio que se forma.
[pic]
Ejemplo 1:
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la integral: 
[pic] 
Solución.
Usamos la fórmula directamente con los siguientes datos:  
[pic]
  Por lo tanto tenemos que: 
[pic] 
Ejemplo 2:  
Usar la regla deltrapecio para aproximar la integral:  
[pic]  
Solución.  
Igual que en el ejemplo anterior, sustituímos los datos de manera directa en la fórmula del trapecio. En este caso, tenemos los datos:  
[pic]
Por lo tanto, tenemos que: 
[pic]
La regla del trapecio se puede ampliar si subdividimos el intervalo [pic] en [pic] subintervalos, todos de la misma longitud [pic] .  
Sea [pic]la partición que se forma al hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la integral tenemos que: 
[pic] 
Aplicando la regla del trapecio en cada una de las integrales, obtenemos:  
[pic] 
Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la misma longitud h, tenemos que:  
[pic] 
Sustituyendo el valor de h y usando la notación sigma, tenemos finalmente: 
[pic] 
Esta es la regla deltrapecio para n subintervalos. Obviamente, esperamos que entre más subintervalos usemos, mejor sea la aproximación a la integral. 
Ejemplo 1:  

Aplicar la regla del trapecio para aproximar la integral  
[pic] 
si subdividimos en 5 intervalos.
Solución.  
En este caso, identificamos [pic], y la partición generada es:  
[pic]
Así, aplicando la fórmula tenemos que:
[pic] [pic]
= 1.48065  
Cabe mencionar que el valor verdadero de esta integral es de 1.4626… 
Así, vemos que con 5 intervalos, la aproximación no es tan mala. Para hacer cálculos con más subintervalos, es conveniente elaborar un programa que aplique la fórmula con el número de subintervalos que uno desee. El lector debería hacer su propio programa y checar con 50,500, 1000, 10000 y 20000 subintervalos, para observar el comportamiento de la aproximación.

Regla de Simpson 1/3
Suponemos que tenemos los datos: 
[pic]
donde [pic] es el punto medio entre [pic] y [pic].
En este caso se tiene que:
[pic] 
donde [pic] es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange.
Así, tenemos que:
[pic] Si denotamos [pic], entonces: 
[pic] 
Simplificando términos: 
[pic] 
Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por [pic]
Así, calculamos la siguiente integral por partes: 
[pic]
Sea:
| |[pic] |[pic] |

por...