Hola

CNEI - Primavera 2008 - Examen tipus

A
e x dx pel mètode dels tra1

Només es pot donar una resposta per pregunta, i heu d'escollir la millor opció. Podeu tenir un formulari/resum en un full manuscrit. Puntuacions per respostes: correcta (3), incorrecta (-1), ns/nc (0) 1.

Sabem que la fórmula de derivació numèrica
f (a) ≈ f (a + h) − f (a − h) 2h

5.

L'aproximació de
1

2pecis amb 4 subintervals és (a) (b) (c) (d)
6.

és d'ordre 2. Extrapolant els resultats d'aproximar f (1) per a f (x) = sin(x) amb h = 0.01 i h = 0.005, obtenim (a) (b) (c) (d)
2.

0.5402933 0.5403023 0.5403001 1.6209069

2.0142069 2.0318929 2.0201022 2.0200586

Per sumar 10 nombres decimals positius, de diferents magnituds, amb calculadora, (a) (b) (c) (d) Els ordenarem del més gran al méspetit Els ordenarem del més petit al més gran És igual com els sumem Hem de vigilar les cancel.lacions

L'ordre de l'error de la fórmula de derivació
f (a) ≈ −11f (a) + 18f (a+h) − 9f (a+2h) + 2f (a+3h) 6h
7.

és: (a) (b) (c) (d)
3.

1 2 3 més gran de 3
8.

Si x = 2 ± 0.1, y = 1 ± 0.2, z = 1 ± 0.1, llavors x−y z està a l'interval (a) (b) (c) (d)
[0.81, 1.22] [0.63, 1.44] [0.77, 1.18][1.00, 1.00] √

Hem de resoldre el sistema lineal d'equacions
0.000125 9.81 −3.71 5.23 x y = 0.459 , 0.164

on totes les dades estan donades amb tres xifres signicatives. Fent tots els càlculs intermitjos arrodonint a la tercera xifra signicativa, i de la manera més efectiva possible, dóna (a) (b) (c) (d)
4.

Volem calcular 3 2, aplicant el mètode de Newton a l'equació x3 − 2 = 0.Partint de x0 = 1.0, quants passos k hem de fer per tal que l'error |x3 − 2| sigui més petit que 0.5 · 10−8 ? k (a) (b) (c) (d) 1 2 3 més de 3

x = 8.29e−02, y = −1.24e−01 x = −8.00e+00, y = −1.24e−01 x = 8.27e−02, y = −1.24e−01
9.

Cap de les anteriors.
1 x

Realitzem un test mecànic per establir la relació entre tensions (σ , en MPa) i deformacions (ε, adimensional) d'un teixit biològic,obtenint: 0.06 0.25 0.47 0.70 0.08 0.20 0.25 0.29 Ajustant les dades per un model ε = bσ + cσ 2 ,
σ ε

La millor cota superior de l'error en aproximar
2

e dx per trapecis amb 4 subintervals és

1

(a) (b) (c) (d)

0.043 0.008 0.022 0.15
1A

(a) (b) (c) (d)

b = 0.9943, c = −0.8596 b = 0.6969, c = −0.5021 b = 0.9422, c = −0.7712

Cap de les anteriors

10.

L'equació ex − 3x2 = 0té una solució propera al punt x0 = 1. El mètode d'iteració simple xn+1 = g(xn ) més ràpid per aproximar aquesta solució és (a) (b) (c)
g(x) = ln(3x2 ) g(x) = ex /3 ex − 3x2 ex − 6x x g(x) = e − 3x2 g(x) = x −

14.

Sigui f una funció amb derivades successives acotades, amb |f (x)| ≤ 1, |f (1) (x)| ≤ 1, |f (2) (x)| ≤ 2, |f (3) (x)| ≤ 6, ... i en general |f (k) (x)| ≤ k!. 1 1 Per interpolarla funció f en l'interval [− 2 , 2 ], usant nodes equiespaiats, de forma que l'error de truncament sigui, com a molt, ε = 10−3 , el grau més adequat és: (a) (b) (c) (d) 5 6 7 19

11.

(d) Sigui f una funció amb derivades successives acotades, amb |f (x)| ≤ 1, |f (1) (x)| ≤ 1, |f (2) (x)| ≤ 2, |f (3) (x)| ≤ 6, ... i en general |f (k) (x)| ≤ k!. Per aproximar la seva integral en l'interval [0,1/2] amb un error més petit que ε = 10−10 , emprant el mètode de Simpson compost, és sucient que el nombre de subintervals sigui (a) 81 (b) 8 (c) 17 (d) 41 El polinomi interpolador de la taula:
x y

15.

Sigui f una funció amb derivades successives acotades, amb |f (x)| ≤ 1, |f (1) (x)| ≤ 1, |f (2) (x)| ≤ 2, |f (3) (x)| ≤ 6, ... i en general |f (k) (x)| ≤ k!. Aproximem la funció f per seupolinomi de Taylor centrat al punt x0 = 0, d'ordre 5. L'error de truncament pels x ∈ [− 1 , 1 ] és, com a molt: 2 2 (a) (b) (c) (d)
0.031 2.2 · 10−5 0.016 2.7 · 10−4

12.

-2 0

-1 4
0.25 1 0.625 8.4375

0 2

1 0

2 4

16.

en el punt x = 0.5 és (a) (b) (c) (d)
13.

El nivell de plasma d'un fàrmac en diferents temps després d'una injecció intravenosa segueixen una relació del...