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´ PRACTICAS DE VARIABLE COMPLEJA
Departamento de An´lisis Matem´tico a a
Curso 2000/2001

Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a Pr´ctica a

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El Sistema de los n´ meros complejos. . . . . . . . . . . . . . . u Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de potencias . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. . . . . . . . Integraci´n sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. o ´ Indice y Teorema general de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . Series de Laurent. Singularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . C´lculo de residuos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . a C´lculo de integrales reales . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . a

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Pr´ctica 1 a El Sistema de los n´ meros u complejos.
Un n´mero complejo se escribe como z = x + iy donde x = ez se denomina parte real de z e u y = mz parte imaginaria. El n´mero z = x − iy se llama elcomplejo conjugado de z. El valor u √ absoluto de z = x + iy se define como |z| = x2 + y 2 = z · z. Todo n´mero complejo z = 0 se u puede escribir en coordenadas polares como z = |z|(cos t + i sen t), siendo t ∈ R. Cada uno de los valores t que cumplen la anterior igualdad se dice que es un argumento de z. Dos de estos valores difieren en un m´ltiplo de 2π, con lo cual s´lo hay un valor en el intervalo ] −π, π], que se denomina u o argumento principal. En los siguientes problemas se utilizan unicamente las propiedades elementales de las operaciones ´ con n´meros complejos. u PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 1.1 Expresar los siguientes n´meros complejos en la forma x + iy. u (i) (1 + 2i)3 5 (ii) −3+4i (iii) (iv) i + i 1+i (v) 1+i−8 (vi) (1 + i)n − (1 − i)n 100 k (vii) k=1 i Ejercicio 1.2 Probar que(i) |z + 1| > |z − 1| ⇐⇒ ez > 0 (ii) mz > 0 e mw > 0 → z−w < 1 z−w (iii) |z − w|2 ≤ (1 + |z|2 ) · (1 + |w|2 ) Ejercicio 1.3 3.- Probar la ley del paralelogramo: |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2 ) para todo z, w ∈ C. Ejercicio 1.4 Sean a, b, z ∈ C tales que |z| = 1. Probar que
az+b bz+a 2+i 3−2i 5 16 2

= 1.

Ejercicio 1.5 n j Sea P (z) un polinomio con coeficientes complejos; esto es, P (z)= j=0 aj z , y sea P (z) = n j j=0 aj z . Probar que (i) P (z) = P (z) para todo z ∈ C. (ii) Si aj ∈ R para todo j y z0 es una ra´ de P (z) = 0, entonces z 0 tambi´n lo es. ız e

Variable compleja

Pr´ctica 1: a

El Sistema de los n´meros complejos. u

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Ra´ces de n´ meros complejos ı u Si z ∈ C, con z = 0 y n ∈ N, entonces existen ex´ctamente n n´meros complejos diferentes a u n z0 ,z1 , ... ,zn−1 tales que zk = z para k = 0, . . . , n − 1. Escribiendo z = |z| · (cos t + i sen t ) con t ∈ [0, 2π[, las ra´ ıces vienen dadas por las f´rmulas o t + 2kπ t + 2kπ + i sen ), k = 0, 1, . . . , n − 1. n n √ Por tanto, dado z = 0, la expresi´n n z designa un conjunto de n elementos. o zk =
n

|z|Cdot(Cos

Ejemplo 1.1 Vamos a calcular las ra´ ıces c´bicas de 1. u Por ser 1 = cos 0+ i sen 0, se sigue de la f´rmula anterior que las ra´ o√ ıces c´bicas son z0 = u √ Cos0 + i sen 0 = 1, z1 = cos 2π + i sen 2π = − 1 + i 23 y z2 = cos 4π + i sen 4π = − 1 − i 23 . 3 3 2 3 3 2 PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 1.6 Calcular las siguientes expresiones. √ (i) 3 2 + 2i. √ (ii) 4 i. √ 4 (iii) √ 3 + 3i. (iv) 3 −1. Ejercicio 1.7 (i) Resolver la ecuaci´n z = z n−1 , siendo n ∈ N y n = 2. o(ii) Determinar los valores x, y ∈ R que satisfacen la igualdad x + iy = (x − iy)2 . Ejercicio 1.8 Probar que las ra´ n-´simas de la unidad distintas de 1 satisfacen la ecuaci´n 1+z+z 2 +· · ·+z n−1 = ıces e o 0.

Variable compleja

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Pr´ctica 2 a Funciones holomorfas
Una funci´n de variable compleja f : D → C se dice que es derivable en z0 ∈ C si existe o
z→z0

l´...