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Publicado: 8 de junio de 2011
Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e
Cuestionario 1
Ampliaci´n de C´lculo de la Escuela Polit´cnica Superior o a e
Resoluci´n del cuestionario 1. Transformada de Laplace o
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razone siempre la respuesta y en caso necesario indique cu´l ser´ la respuesta correcta. a ıa
1. L−1
s4 (s − 1)(s + 1)(s+ 2)
no existe.
Soluci´n: o Verdadero. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 4 y el del denominador es o ım
s→∞
3, se tiene que
s4 = ∞ = 0 y, por lo tanto, no existe la transformada inversa de s→∞ (s − 1)(s + 1)(s + 2) Laplace de la funci´n dada.o 2 l´ ım
∞
2.
0
t7 e−t dt = l´ ım Soluci´n: o Falso.
s→∞
7! = 0. (s + 1)8
∞
Recordemos que
0
F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ım ımite existan.
s→0
En este caso, teniendo en cuenta que L t7 e−t =
7! , el error est´ en calcular el l´ a ımite cuando s (s + 1)8 tiende a infinito en lugar de cero. Por tanto, la soluci´n correcta es:o
∞ 0
t7 e−t dt = l´ + ım
s→0
7! = 7! = 5040 (s + 1)8 2
√
t
3. Sabiendo que
L
0
e
−x
ln − cos(3x) dx = x
s2 + 9 s+1 s ln entonces (s + 1)2 + 9 s+2 s+1
t
L e−t
0
e−x − cos(3x) dx = x
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a
1
Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e
Cuestionario 1Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente: Si f (s) = L [F (t)] entonces L eαt F (t) = f (s − α). 2
t
4.
Sabiendo que
L e−t
0
sen2 x 1 dx = x 2
∞
ln
(s + 1)2 + 4 s+1 s+1
t
entonces √ 4
e−t
0 0
sen2 x dx x
dt = ln
5
Soluci´n: o Verdadero.
∞
Recordemos que
0
F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ımımite existan.
s→0
En este caso, teniendo en cuenta la informaci´n que nos dan: o
∞ t
e−t
0 0
sen2 x dx x
t
dt
=
s→0
l´ + L [F (t)] = l´ + L e−t ım ım
s→0
0
sen2 x dx x
ln =
s→0
l´ + ım
1 2
(s + 1)2 + 4 s+1 s+1 =
√ 1 √ 4 ln 5 = ln 5 2 2
π − arctg s sen x dx = 2 y 5. Sabiendo que f (s) = L x s 0 2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π f (s) = entonces2s2 (s2 + 1)
t t
L t
0
2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = x 2s2 (s2 + 1)
Soluci´n: o Falso. Recordemos que si f (s) = L [F (t)] entonces L [tn F (t)] = (−1)n f (n) (s). En este caso podemos aplicar dicha propiedad para n = 1, por lo que el error est´ en que falta un signo a menos. Esto es:
t
L t
0
2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = (−1)1 f (s) = − x 2s2 (s2 + 1) 2Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a
2
Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e
Cuestionario 1
√ 6. Sabiendo que L Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente:
t
1 − coshx = ln x
√
s2 − 1 s
t
ln 1 − coshx dx = x
s2 − 1 s s .
entonces L
0
Si f (s) = L [F (t)] entonces L0
F (u) du =
f (s) . s 2
7. L−1
1 2 7 s3 + 1 = − + et − e−2t s(s − 1)(s + 2) 2 3 6
Soluci´n: o Falso. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 3, o ım
s→∞
se tiene que l´ ım
s3 + 1 = 1 = 0 y, por lo tanto, no existela transformada inversa de Laplace de la s→∞ s(s − 1)(s + 2) funci´n dada. o El hecho que puede inducir a pensar que la respuesta sea correcta ser´ el siguiente razonamiento err´neo: ıa o s3 + 1 s(s − 1)(s + 2) A B C −1/2 2/3 7/6 + + = + + s s−1 s+2 s s−1 s+2
;
El paso err´neo es que al ser el grado del numerador (3) mayor o igual que el grado del denominador (3) no o existen valores para...
Cuestionario 1
Ampliaci´n de C´lculo de la Escuela Polit´cnica Superior o a e
Resoluci´n del cuestionario 1. Transformada de Laplace o
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Razone siempre la respuesta y en caso necesario indique cu´l ser´ la respuesta correcta. a ıa
1. L−1
s4 (s − 1)(s + 1)(s+ 2)
no existe.
Soluci´n: o Verdadero. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 4 y el del denominador es o ım
s→∞
3, se tiene que
s4 = ∞ = 0 y, por lo tanto, no existe la transformada inversa de s→∞ (s − 1)(s + 1)(s + 2) Laplace de la funci´n dada.o 2 l´ ım
∞
2.
0
t7 e−t dt = l´ ım Soluci´n: o Falso.
s→∞
7! = 0. (s + 1)8
∞
Recordemos que
0
F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ım ımite existan.
s→0
En este caso, teniendo en cuenta que L t7 e−t =
7! , el error est´ en calcular el l´ a ımite cuando s (s + 1)8 tiende a infinito en lugar de cero. Por tanto, la soluci´n correcta es:o
∞ 0
t7 e−t dt = l´ + ım
s→0
7! = 7! = 5040 (s + 1)8 2
√
t
3. Sabiendo que
L
0
e
−x
ln − cos(3x) dx = x
s2 + 9 s+1 s ln entonces (s + 1)2 + 9 s+2 s+1
t
L e−t
0
e−x − cos(3x) dx = x
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a
1
Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e
Cuestionario 1Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente: Si f (s) = L [F (t)] entonces L eαt F (t) = f (s − α). 2
t
4.
Sabiendo que
L e−t
0
sen2 x 1 dx = x 2
∞
ln
(s + 1)2 + 4 s+1 s+1
t
entonces √ 4
e−t
0 0
sen2 x dx x
dt = ln
5
Soluci´n: o Verdadero.
∞
Recordemos que
0
F (t) dt = l´ + L [F (t)] siempre que dicha transformada y dicho l´ ımımite existan.
s→0
En este caso, teniendo en cuenta la informaci´n que nos dan: o
∞ t
e−t
0 0
sen2 x dx x
t
dt
=
s→0
l´ + L [F (t)] = l´ + L e−t ım ım
s→0
0
sen2 x dx x
ln =
s→0
l´ + ım
1 2
(s + 1)2 + 4 s+1 s+1 =
√ 1 √ 4 ln 5 = ln 5 2 2
π − arctg s sen x dx = 2 y 5. Sabiendo que f (s) = L x s 0 2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π f (s) = entonces2s2 (s2 + 1)
t t
L t
0
2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = x 2s2 (s2 + 1)
Soluci´n: o Falso. Recordemos que si f (s) = L [F (t)] entonces L [tn F (t)] = (−1)n f (n) (s). En este caso podemos aplicar dicha propiedad para n = 1, por lo que el error est´ en que falta un signo a menos. Esto es:
t
L t
0
2 s2 + 1 arctg s − πs2 − 2s − π sen x dx = (−1)1 f (s) = − x 2s2 (s2 + 1) 2Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´tica Aplicada. Universidad de M´laga. a a
2
Ampliaci´n de C´lculo 10/11. Escuela Polit´cnica Superior. o a e
Cuestionario 1
√ 6. Sabiendo que L Soluci´n: o Verdadero. Se ha aplicado la propiedad siguiente:
t
1 − coshx = ln x
√
s2 − 1 s
t
ln 1 − coshx dx = x
s2 − 1 s s .
entonces L
0
Si f (s) = L [F (t)] entonces L0
F (u) du =
f (s) . s 2
7. L−1
1 2 7 s3 + 1 = − + et − e−2t s(s − 1)(s + 2) 2 3 6
Soluci´n: o Falso. Recordemos que una condici´n necesaria para que exista la transformada inversa de Laplace de una funo ci´n f (s) es que l´ f (s) = 0. Sin embargo, como el grado del numerador es 3 y el del denominador es 3, o ım
s→∞
se tiene que l´ ım
s3 + 1 = 1 = 0 y, por lo tanto, no existela transformada inversa de Laplace de la s→∞ s(s − 1)(s + 2) funci´n dada. o El hecho que puede inducir a pensar que la respuesta sea correcta ser´ el siguiente razonamiento err´neo: ıa o s3 + 1 s(s − 1)(s + 2) A B C −1/2 2/3 7/6 + + = + + s s−1 s+2 s s−1 s+2
;
El paso err´neo es que al ser el grado del numerador (3) mayor o igual que el grado del denominador (3) no o existen valores para...
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