hola

APUNTE PRELIMINAR
Análisis Cualitativo Sistemas Lineales
Verónica Gruenberg

1.

Retrato de fase para sistemas lineales con valores propios reales no nulos

dY
= AY,
A ∈ M (2, R)
dt
⇒ la única singularidad es el origen.

y

det A = 0

Si A tiene dos valores propios λ1 , λ2 ∈ R − {0}, pueden ocurrir los casos
siguientes:
1. λ1 = λ2 .
2. λ1 = λ2 = λ.
Caso 1:

λ1 = λ2

a)λ1 < 0 < λ2 : Punto Silla
En este caso se dice que el origen es un punto silla. Hay dos líneas que corresponden a la solución en línea recta. A lo largo de una línea las soluciones
tienden a (0, 0) cuando t → +∞ y a lo largo de la otra, se alejan de (0, 0) cuando
t → +∞. Las otras soluciones llegan del ∞ y se van al infinito.
Sean V1 , V2 vectores propios asociados a λ1 , λ2 , respectivamente.Las soluciones en línea recta son : Y1 (t) = k1 eλ1 t V1 y Y2 (t) = k2 eλ2 t V2 ,
cuya solución general es:
Y (t) = k1 eλ1 t V1 + k2 eλ2 t V2 ,
l´ Y1 (t) = (0, 0)
ım

t→+∞

∧

k1 , k2 ∈ R

l´ Y2 (t) = (0, 0)
ım

t→−∞

V1

V2

Figura 1

1

Ejemplo
dY
= AY
dt

donde

A=

−2
0

0
3

En este caso:

λ1 = −2, λ2 = 3,

1
,
0

V1 =

Y (t) = k1 e−2t V1 + k2e3t V2 =

V2 =

0
1

k1 e−2t
k2 e3t

Sea Y (t) tal que k1 , k2 = 0. Supongamos que |t| es grande:
1. Si t > 0,
asíntota.

Y (t) ≈ k2 e3t V2

2. Si t < 0,
asíntota.

Y (t) ≈ k1 e−2t V1

Y (t) tiene al eje y = (0, 1) como

⇒

Y (t) tiene al eje x = (1, 0) como

⇒

Por ejemplo, sea Y (t) tal que Y (0) = (1, 1), entonces
Y (t) =

l´ x(t) = 0
ım

t→+∞

e−2t
e3t
∧=

x(t)
y(t)

l´ x(t) = +∞
ım

t→−∞

l´ y(t) = +∞
ım

∧

t→+∞

l´ y(t) = 0
ım

t→−∞

y(t)

x(t)

2

b) λ2 < λ1 < 0 : Pozo o sumidero
Y (t) = k1 eλ1 t V1 + k2 eλ2 t V2 ,

k1 , k2 ∈ R

Cuando t → +∞, todas las soluciones tienden a (0, 0), que es la única singularidad del sistema. En este caso, decimos que el (0, 0) es un pozo o sumidero.
Sea Y (t) tal que k1 ,k2 = 0
¿Cómo se acerca Y (t) al origen?
a
c
Sean V1 =
y V2 =
, con ad − bc = 0
b
d
x(t) = ak1 eλ1 t +ck2 eλ2 t
y(t) = bk1 eλ1 t +dk2 eλ2 t
Sea a = 0
dy
λ1 bk1 + λ2 dk2 e(λ2 −λ1 )t
λ1 bk1 eλ1 t +λ2 dk2 eλ2 t
dy
=
= dt =
λ1 t +λ ck eλ2 t
dx
dx
λ1 ak1 e
λ1 ak1 + λ2 ck2 e(λ2 −λ1 )t
2 2
dt
dy
b
l´
ım
= .
t→+∞ dx
a
b
Es decir, cuando t → +∞, Y (t) se acerca al origen conpendiente que tiende a a ,
es decir, en dirección tangencial a la línea de vectores propios correspondientes
al valor propio λ1 .

Ejemplo
dY
= AY
dt

donde

λ1 = −2,

A=

0
1
.
−10 −7

λ2 = −5,

V1 =

Y (t) = k1 e−2t V1 + k2 e−5t V2 =

3

En este caso,
1
,
−2

V2 =

1
−5

k1 e−2t +k2 e−5t
−2k1 e−2t −5k2 e−5t

V2
V1

Figura 2
c) 0 < λ1 < λ2

:Fuente

Y (t) = k1 eλ1 t V1 + k2 eλ2 t V2

k1 , k2 ∈ R

Si (k1 , k2 ) = (0, 0), Y (t) se aleja del origen cuanto t → +∞, es decir, el
origen es una fuente.
Todas las soluciones con k1 , k2 = 0, se acercan al origen cuanto t → +∞ en
forma tangencial a la línea de vectores propios correspondientes al valor propio
λ1 .

Ejemplo
dY
1 3
= AY
donde A =
.
Aquí, λ1 = 1, λ2 = 2, V1 =
0 2
dt3
k1 et +3k2 e2t
V2 =
de donde Y (t) = k1 et V1 + 3k2 e2t V2 =
1
k2 e2t

V2

V1

4

1
,
0

Caso 2:

λ1 = λ2 = λ

y

λ=0

Debemos distinguir dos subcasos:
1) Si Vλ = R2 (Vλ subespacio propio asociado a λ). Si V1 y V2 son 2 vectores
propios l.i., entonces la solución se puede escribir en la forma:
Y (t) = eλt (k1 V1 + k2 V2 )
= eλt

a
b

k1 , k2 ∈ R

a, b ∈ Rde donde el retrato de fase en este caso es:

(a) nodo estelar atractor o sumidero estelar si λ < 0

2) Si dim Vλ = 1,
guiente modo:

(b) nodo estelar repulsor o fuente estelar si λ > 0

podemos obtener la forma general de la solución del si-

dY
= AY,
A ∈ M (2, R),
Sea
dt
multiplicidad dos, pero dim Vλ = 1.

donde A tiene un valor propio λ de
Si V1 es vector propio,...