hola

CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA
Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un rectángulo de
lados 2a y 2b. El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa por su
centro. a) Hallar el momento de inercia respecto de este eje. b) Hallar el I respecto de un eje
paralelo al anterior que pase por las masas. c) Hallar el I respecto a un ejeperpendicular al
anterior y que pase por una masa.
Solución: I.T.I. 02
a) Si aplicamos la definición de momento de
inercia: I = ∑ mi Ri2 tenemos que:

y ʹ′

y

i

Ix = 4 m b 2 , Iy = 4 m a2

2b

b) Para calcular el momento de inercia respecto
de los nuevos ejes podemos hacerlo aplicando
la fórmula anterior o utilizando el teorema de
Steiner:

Ix ʹ′ = Ix + 4m b2 ⎫
⎪
⎬
2 ⎪
Iy ʹ′= Iy + 4m a ⎭

⇒

x

x ʹ′

2a

Ix ʹ′ = 8 m b2 , I y ʹ′ = 8m a2

c) El momento de inercia respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que
pase por una de las masas (eje zʹ′ ) será:
2

2

[

2

2

]

Iz ʹ′ = 0 + m (2a) + m (2b) + m (2a) + (2b) =

8 m ( a2 + b 2 )

Lo cual podríamos haber calculado teniendo en cuenta que todas las partículas de
nuestrosistema se encuentran en un plano y podemos aplicar el teorema de los ejes
perpendiculares: Iz ʹ′ = I x ʹ′ + Iy ʹ′ .

€

Física

Tema

Página 1

Calcular el momento de inercia respecto de un eje que pase por su centro
de un disco de radio R y masa M al cual se le practica un agujero
circular de radio R/4 centrado a una distancia R/2 del centro del disco.

R/4
R

R/2

Solución:I.T.I. 01, 04, I.T.T. 04
Podemos tratar dicho disco como la contribución de dos piezas:
y

y

x

y

=

–

x
1

x
2

El momento de inercia respecto del eje Z de la pieza 1 será:

Iz,1 =

1
1
1
1
M1 R12 = (σ π R12 ) R12 = σ π R14 = σ π R 4
2
2
2
2

Si llamamos Zʹ′ a un eje paralelo al eje Z y que pase por el centro de la pieza 2
utilizando el teorema de Steinerpodemos calcular su momento de inercia respecto del
eje Z:
2

Iz,2 = Iz ʹ′,2

2

2

1
1
⎛ R ⎞
⎛ R ⎞
2
2
2
2 ⎛ R ⎞
+ M2
= M2 R2 + M 2
= (σ π R2 )R2 + (σ π R2 )
=
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
2

2
4
2
2
1
1
⎡ R ⎤ ⎛
⎡ R ⎤ ⎞ ⎛ R ⎞
⎛ 9 ⎞
4
2 ⎛ R ⎞
= σ π R2 + (σ π R2 )
= σ π ⎢ ⎥ + ⎜ σ π ⎢ ⎥ ⎟
=
σ π R4
⎝ 2 ⎠
⎝ 512⎠
2
2
⎣ 4 ⎦ ⎝
⎣ 4⎦ ⎠ ⎝ 2 ⎠

El momento de inercia de toda la placa será:

Iz = Iz,1 − I z,2 =

1
9
247
ρπ R 4 −
ρπ R 4 =
ρπ R 4
2
512
512

Finalmente calculando el valor de la densidad superficial σ y sustituyendo:

σ=

Física

M placa
=
A placa

M placa

π R2 − π

⎛ R ⎞
⎝ 4 ⎠

2

=

16 ⎛ M placa ⎞
15 ⎜ π R 2 ⎟
⎝
⎠

Tema

⇒

Iz =

247
M
R2
480 placaPágina 2

Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes cuerpos:
a) esfera homogénea, b) cilindro hueco de paredes delgadas, c) cilindro homogéneo hueco de
radio interior a y exterior b, d) sistema formado por una barra cilíndrica de radio R y longitud
L unida a dos esferas de radio 2R.
Solución: I.T.I. 02
a) Coloquemos nuestro origen de coordenadas en elcentro de la
r
R
esfera. Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm
con forma de coraza esférica de radio r y espesor dr, todos los
puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del centro,
por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho
centro nos dará:

⎛
⎞
R 5 ⎜ M ⎟
R5 3
IO = ∫ r 2 dm = ∫ r2 ρ 4π r 2 dr = ρ 4π
= ⎜ 4
4π= M R2
5 ⎜ π R 3 ⎟
5 5
0
⎟
⎝ 3
⎠
R

Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados X, Y y Z
tiene el mismo valor Ix = I y = Iz , y además se verifica que:

Ix + Iy + Iz = 2IO

⇒

I x = Iy = I z =

2
MR 2
5

b) En el cilindro hueco de paredes delgadas todos sus puntos se encuentran a la misma
distancia del eje de simetría, con lo que su...