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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
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FACULTAD DE MATEMATICAS
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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Primer Semestre 2013

Gu´ N◦ 4 - La ecuaci´n de la recta
ıa
o
MAT1109- Geometr´
ıa.
(1) Calcular la distancia entre los puntos:
(i) A(2, −3), B(−1, −7).
(ii) C(3, 1), D(−1, 5).
(2) Hallar el per´
ımetro del tri´ngulo con v´rtices (3, 4), (−1, 4), (2, 2).
a
e
(3) Demostrar que eltri´ngulo cuyos v´rtices son (−3, −2), (1, 4), (−5, 0) es is´sceles.
a
e
o
√
√
a
(4) Demostrar que el tri´ngulo cuyos v´rtices son (−1, 1), (1, 3), (− 3, 2+ 3) es equil´tero.
a
e
(5) Demostrar que el cuadril´tero cuyos v´rtices son (1, 3), (3, 6), (0, 5), (−2, 2) es un
a
e
paralelogramo.
(6) Demostrar que los puntos (8, 0), (0, −6), (7, −7), (1, 1) pertenecen a una circunferencia
(osea son conc´
ıclicos) con centro (4, −3). ¿Cu´l es su radio?
a
(7) Hallar el lugar geom´trico de los puntos P que equidistan de los puntos A(−3, 3) y
e
B(4, 5).
(8) Determinar las coordenadas del punto medio del trazo cuyos extremos son A(−3, 2)
y B(5, −4).
(9) Determinar las coordenadas del punto que divide en la raz´n 2/1 al trazo de extremos
o
A(3, 2) y B(−1, 5).
(10) Si el trazoAB, con A(3, −7), tiene como punto medio a M (4, −3), ¿cu´les son las
a
coordenadas del extremo B?
(11) Dado que A (2, 1), B (4, −1)y C (0, −3) son los puntos medios de los lados de un
tri´ngulo, determinar las coordenadas de sus v´rtices.
a
e
(12) ¿En qu´ raz´n divide el punto (1, −2) al trazo de extremos A(7, 4) y B(−1, −4)?
e
o
(13) Demostrar que los puntos (3a, 0), (0, 3b) y (a, 2b)son colineales.
(14) Determinar la ecuaci´n de interceptos de la recta que pasa por los puntos A(−3, −1),
o
B(2, −6).
(15) De estos dos tr´ de ecuaciones de rectas, ¿es alguno concurrente?
ıos
(i) 2x + 3y − 1 = 0, 4x − 5y + 5 = 0, 3x − y + 2 = 0.
(ii) 3x − y + 3 = 0, 5x + 3y − 7 = 0, x − 2y − 4 = 0.
(16) Si los puntos A(3, −3), B(7, −4) y C(5, 6) son tres v´rtices del paralelogramo ABCD,
ehallar las coordenadas del cuarto v´rtice D.
e
(17) Hallar la ecuaci´n de la recta que pasa por el punto (−3, 1) y es paralela a la recta
o
que pasa por los puntos (0, −2) y (5, 2).

1

(18) Dados dos v´rtices adyacentes A(−3, −1) y B(2, 2) de un paralelogramo ABCD y el
e
punto E(3, 0) de intersecci´n de sus diagonales, hallar las ecuaciones de sus lados.
o
(19) Hallar las ecuacionesde los lados de un tri´ngulo si se dan el v´rtice (1, 3) y las
a
e
ecuaciones de dos transversales de gravedad x − 2y + 1 = 0, y − 1 = 0.
(20) Encontrar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico de los puntos que equidistan
o
e
de A(−1, 3) y B(5, 1).
(21) Dos v´rtices de un tri´ngulo son A(−1, 3) y B(5, 1), encontrar la ecuaci´n del lugar
e
a
o
geom´trico del tercer v´rtice C sila pendiente del lado CA es siempre el doble de la
e
e
pendiente del lado BC.
(22) Un punto P del plano se mueve de modo tal que que su distancia a la recta de ecuaci´n
o
5x + 12y − 20 = 0 es el triple de su distancia a la recta de ecuaci´n 4x − 3y + 12 = 0;
o
encontrar e identificar la ecuaci´n del lugar geom´trico.
o
e
(23) Dado el haz de rectas de ecuaci´n 2x + y + 4 + λ(x − 2y − 3) =0 demostrar que
o
√
entre las rectas de esta familia existe s´lo una que est´ a la distancia 10 del punto
o
a
P0 (2, −3). Encontrar le ecuaci´n de ´sta y explicar el motivo por el cual es s´lo una.
o
e
o
(24) Dado el tri´ngulo de v´rtices A(2, 1), B(3, 4), C(5, 2), hallar las coordenadas del
a
e
ortocentro H, las del centro de gravedad G y las del circuncentro O y demostrar que
H, Gy O son colineales.
(25) Determinar el lugar geom´trico del v´rtice C de un tri´ngulo ABC de base dada AB
e
e
a
en el cual la diferencia de los cuadrados de las transversales de gravedad que pasan
por los v´rtices de la base es igual a la mitad del ´rea del tri´ngulo.
e
a
a
(26) Calcular el ´rea del tri´ngulo de v´rtices A(−4, −1), B(3, −2), C(2, 1).
a
a
e
(27) Idem para el...