hola

APLICACIÓN DE LAS MATRICES
Modelos de Entrada-Salida de Leontief
El modelo desarrollado por Wassily Leontief, es una aplicación interesante de las
matrices, que fue útil para pronosticar los efectos en los cambios de precios o las
variaciones de las erogaciones gubernamentales sobre la economía.
Un modelo simplificado de la economía sería:

Entradas
Productos Agrícolas
BienesManufacturados
Combustibles

Salidas
Bienes
Manufacturados
0.1
0.5
0.3

Productos
Agrícolas
0.5
0.2
0.1

Combustible
0.1
0.3
0.4

A partir de esta tabla, podemos formar la matriz A, la cual se llama Matriz tecnológica o
Matriz de Leontief
0.5
0,1
0,1
A=
0,2
0,5
0,3
0,1
0,3
0,4
La matriz tecnológica no tiene toda la información. En particular, cada industria tiene
unaproducción bruta. Se puede presentar la matriz de producción bruta para la
economía con una matriz de columna
A=

x1
X2
X3

Donde x1 es la producción bruta de los productos agrícolas, x2 es la producción bruta de
bienes manufacturados y x3 es la producción bruta de combustibles.
La cantidad de las producciones brutas que en la economía usan varias industrias se
determina por medio de AX. Lasunidades de producción bruta que no se utilizan en estas
industrias se denominan demandas finales o superávits y s pueden considerar que están
disponibles para los consumidores, el gobierno o la exportación. Si ponemos estos
superávits en una matriz columna D, entonces se puede representar el superávit con la
ecuación
X – AX = D ó (I – A) X=D
Donde I es la matriz unidad o identidad. Estaecuación matricial recibe el nombre de
Ecuación tecnológica para un modelo abierto de Leontief. Se llame modelo abierto porque
Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
1

algunas mercancías de la economía están “abiertas” o disponibles para entidades ajenas
a la economía
Ejercicio. Si queremos tener un superávit de 85 unidades de producción agrícola, 65 de
productosfabricados y 0 unidades de combustible ¿cuáles deben ser las producciones
brutas?
Por datos
85
65
0

D=
Debemos resolver:
1
0
0

I–A=

0
1
0
1
0
0

0
0
1
0
1
0

0.5
0,2
0,1

-

0
0
1

-

0,1
0,5
0,3

0,5
0,2
0,1

0,1
0,3
0,4

0,1
0,5
0,3

X1
X2
X3

x

0,1
0,3
0,4

=

0,5
-0,2
-0,1

=

85
65
0
-0,1
0,5
-0,3

Debemos resolverla ecuación matricial
0,5
-0,2
-0,1

-0,1
0,5
-0,3

-0,1
-0,3
0,6

X1
X2
X3

=

85
65
0

La matriz ampliada

es
0,5
-0,2
-0,1

-0,1
0,5
-0,3

-0,1
-0,3
0,6

85
65
0

Si se reduce utilizando el método de Gauss-Jordan, se obtiene
1
0
0

0
1
0

0
0
1

300
400
250

De modo que las producciones brutas de las industrias son

Agricultura:X1

=

300

Mis Notas de Clase Algebra Lineal – José F. Barros Troncoso
2

-0,1
-0,3
0,6

Manufactura:
Combustible:

X2
X3

=
=

400
250

La ecuación tecnológica para el modelo de Leontief se puede resolver usando la inversa
de I – A, si esta existe. Es decir,
(I – A)X = D tiene solución X = (I – A) -1D
Problemas
1. Una economía simple tiene una industria de calzado yuna de ganadería con la
matriz tecnológica
C
G
0.1 0.1
Calzado
A=
0.2 0.05 Ganadería
Se desean superávits de 850 unidades de calzado y 275 unidades de ganado.
Encuentre la producción bruta de cada industria.
1 0  0,1 0,1   0,9  0,1
Hallemos I – A = 



0 1 0,2 0,05  0,2 0,95

I  A1 

0,95 0,1
1
(0,9)(0,95)  (0,1)(0,2)  0,2 0,9



I A1 

 1,13 0,11
1 0,95 0,1
1
 0,2 0,9 I  A  0,23 1,07
0,835 




 1,13 0,11 850
 1,13  850 0,11 275
990,75 calzado
X 
 275 X  0,23  850 1,07  275 X  489,75 ganado
0,23 1,07





Verificar
(I-A)X=D

0,9

 0,1 990,75

 0,2 0,99 489,75



842,7
267,4

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