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MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

L´
ımites de Funciones

CIENCIAS

MaTEX
L´
ımites

Fco Javier Gonz´lez Ortiz
a

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Tabla de Contenido
Inicio Art´
ıculo

c 2004 gonzaleof@unican.es
11 de junio de 2004

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Introducci´n
o
2. Infinit´simos
e
2.1.Algebra de infinit´simos
e
2.2. Orden de un infinit´simo
e
2.3. Infinit´simos equivalentes
e
2.4. Principio de Sustituci´n
o
3. Infinitos
3.1. Orden de un infinito
3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logar´
ıtmico
g(x)
4. C´lculo de l´
a
ımites f (x)
4.1. Casos indeterminados de l´
ımites f (x)g(x)
5. Regla de L’H¨pital
o
∞
• Caso
• Caso 0 · ∞ • Caso ∞ − ∞
∞
Soluciones alos Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´
ımites

Tabla de Contenido

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3

1. Introducci´n
o
Si has llegado hasta aqu´ suponemos que has superado el cap´
ı
ıtulo de
L´
ımites de Funciones I. En este cap´
ıtulo vas a profundizar en el c´lculo de
a
l´
ımites con funciones:
trigonom´tricas,
e
exponenciales ylogar´
ıtmicas
que no se han tratado en el cap´
ıtulo anterior.
Para ello introduciremos los conceptos de infinit´simo e infinito. Esto nos
e
0
que es el
permitir´ calcular el tipo de l´
a
ımite indeterminado de la forma
0
m´s importante y es objeto esencial del C´lculo diferencial.
a
a
El nivel de este cap´
ıtulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.

MATEMATICAS
2ºBachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´
ımites

Secci´n 1: Introducci´n
o
o

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Secci´n 2: Infinit´simos
o
e

4

MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

2. Infinit´simos
e

A

La condici´n esencial es la variabilidad y tener por l´
o
ımite 0.
No hablamos de n´meros infinitamente peque˜os, ser´ un contrasentido.
u
n
ıa
El n´mero10−2002 es realmente peque˜o pero no infinitamente peque˜o.
u
n
n
La condici´n esencial del infinit´simo es que se pueda hacer tan peque˜o
o
e
n
como queramos, por lo que debe ser una expresi´n variable.
o
Decimos que x2 es infinit´simo en x = 0, pues x2 → 0 en x = 0. Pero
e
decimos que 1 + x2 no es infinit´simo , pues 1 + x2 → 1 en x = 0.
e
Tambi´n sen x es infinit´simo en x = 0, puessen x → 0 en x = 0. Pero
e
e
decimos que 2 + sen x no es infinit´simo , pues 2 + sen x → 2 en x = 0.
e
As´ mismo, sen(1 + x) no es infinit´simo en x = 0, pues sen(1 + x) → sen 1
ı
e
en x = 0, pero si lo es en x = −1.
Y as´ sucesivamente.
ı

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
L´
ımites

Toda variable f (x) se llama infinitamente peque˜a o infinit´simo cuando
n
e
tiende a 0.
f (x) → 0Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinit´simos en los puntos que se
e
indican
1
a) l´ x − 1
ım
b) l´
ım
c) l´ x2
ım
x→∞ x
x→1
x→0
d ) l´ sen x
ım
e) l´ cos x
ım
f ) l´ tan x
ım
x→0

x→π/2

x→0

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Secci´n 2: Infinit´simos
o
e

5

g) l´ ex − 1
ım

h) l´ (1 − cos x
ım

x→0

x→0

i ) l´ ln(1 + x)
ım

MATEMATICAS
2ºBachillerato
r=A+lu
A

x→0

d

2.1. Algebra de infinit´simos
e

B
s=B+mv

Regla I La suma finita de infinit´simos es un infinit´simo.
e
e
α(x) → 0 β(x) → 0 =⇒ α(x) + β(x) → 0
l´ x2 + sen x = 0
ım

x→0

l´ x4 + sen x2 = 0
ım

CIENCIAS

MaTEX

x→0

k ∈ R, α(x) → 0 =⇒ Kα(x) → 0
z(x) acotada , α(x) → 0 =⇒ z(x)α(x) → 0
2.2. Orden de un infinit´simo
e
Cuando x → 0 las variables:x, x2 , x3 , · · · , xm , · · ·
son infinit´simos y ´stas se toman como tipos de comparaci´n de otros ine
e
o
finit´simos. Decimos que f (x) es un infinit´simo en el punto x = a de orden
e
e
n cuando
f (x)
l´
ım
= Cte = 0
x→a (x − a)n

L´
ımites

Regla II EL producto de un infinit´simo por una constante, o por una varie
able acotada, es un infinit´simo.
e

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