Hola

INTRODUCCIÓN  A  LOS  MÉTODOS  NUMÉRICOS
   Una pregunta muy natural que surge al introducirse en el estudio de los métodos numéricos, es la siguiente:
Por que sucedio todo esto?
Para introducir la forma de trabajar con métodos numéricos en la solución de problemas, veremos el siguiente:
PROBLEMA.
Calcular la velocidad instantánea de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie terrestre,suponiendo que la velocidad inicial del cuerpo es igual a 0 y que las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la fuerza de gravedad y la fuerza de resistencia del aire, la cual suponemos que es linealmente proporcional a la velocidad del cuerpo.
Solución Analítica.
Usamos la segunda ley de Newton, que establece: 
                                                     F = m a
La cualpodemos escribir en la forma:
                                          [pic]
Las hipótesis sobre las fuerzas que actúan sobre el cuerpo nos indican que:
                                          [pic]
donde [pic](g-constante de gravedad) es la fuerza de gravedad y [pic](c-coeficiente de arrastre) es la fuerza de resistencia del aire.
Sustituyendo esto último obtenemos:                                     [pic]
Equivalentemente:
                                         [pic]
Que es nuestro modelo matemático del problema. En este caso identificamos nuestro modelo como una ecuación diferencial de primer orden de variables separables.
Procedemos a separar las variables:
                                   [pic]
Integramos ambos miembros de la ecuación:
                                     [pic]
De lo cualobtenemos:
                         [pic]  ,       (k-cte de integración)
Para calcular la constante de integración, usamos la hipótesis de que la velocidad inicial del cuerpo es 0. Esto es, [pic]si [pic]. Sustituyendo estos valores en la ecuación de arriba, obtenemos:
                                [pic]
Con lo cual obtenemos:
                        [pic]
 
Finalmente, despejamos [pic]enfunción de [pic]:
                           [pic]
La cual resuelve el problema de forma exacta.
Para fijar un ejemplo particular, supongamos que tenemos los siguientes datos:
                                    [pic]
Calculemos los valores [pic].
Lo único que tenemos que hacer es sustituir los valores de m, c y g:
                            [pic]
                        [pic]
Finalmentesustituímos los valores del tiempo desde [pic]hasta [pic]y escribimos los resultados en la siguiente tabla:
 
|t (s) |v (cm/s) |
|0 |0 |
|1 |854.7569 |
|2 |1500.76828 |
|3 |1989.01317 |
|4 |2358.02072 |
|5 |2636.91063 |

 
Esta tabla devalores, representa los valores exactos de las velocidades indicadas que se han obtenido por un método analítico.
A continuación veremos como podemos aproximar estos datos usando un método numérico.
 
Solución Numérica.
Primero que nada, recordemos que el modelo matemático del problema esta dado por:
                                               [pic]
Para usar un método numérico, recordemoscómo se define la derivada de una función:
Tenemos:
                                         [pic]
Cuando [pic]es cercano a [pic], podemos quitar el límite y obtener la siguiente aproximación :[pic]                                           [pic]
Lo cual, al sustituirlo en nuestro modelo matemático nos da:
                                [pic]
De aquí podemos despejar [pic]y obtener losiguiente:
                                           [pic]
Esta última fórmula, la cual es una fórmula recursiva, nos permite calcular la velocidad [pic]si conocemos la velocidad en el tiempo anterior [pic]. Nuestro punto de partida es que la velocidad inicial es 0, es decir, [pic], y de aquí podemos calcular, con la ayuda de nuestra fórmula recursiva, la velocidad en...