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II. ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE FUNCIONES

Examinar el comportamiento de una función es una parte básica de las Matemáticas y tiene aplicaciones en muchas áreas de estudio. Cuando esbozamos una curva colocando simplemente puntos, no puede dar información suficiente acerca de su forma.

Ejemplo: La función pasa por los puntos (-1; 0), (0; -1) y (1; 0). Observemos que los siguientes gráficoslo cumplen, pero solo el representado en la figura 1, es .

Por esto, se ha desarrollado todo un procedimiento basado en conceptos del análisis matemático, para acercarse a la forma de una función.

Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase la figura 3).

Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo.

En la figura 4, c y d no son máximoy mínimo, respectivamente, en [a, b], pero sí en una vecindad.

Definición de Máximo Relativo o local (Mínimo relativo o local)

Un punto x0 es un punto de máximo local (mínimo local) de la función , si existe >0 tal que: para todo x tal que < .

Recuerde que: = <

El valor de recibe el nombre de valor máximo relativo de la función o (valor mínimo relativo).

Los valores máximos ymínimos se llaman extremos de la función.

Condición necesaria para la existencia de extremos

Teorema de Fermat

Sea una función y c un punto de extremo local de . Entonces, si es derivable en c, = 0.

Luego, si es derivable en c, una condición necesaria para que c sea extremo local, es = 0.

Pero puede suceder:

• que no exista la primera derivada de una función en algún punto, y este noconstituya un punto de extremo. Por ejemplo, .

• que no exista la primera derivada de una función en algún punto, y este sea un punto de extremo. Por ejemplo, .

• que una función no sea derivable en un punto, y este constituya un punto de extremo.

Puntos críticos o estacionarios: los valores c tales que = 0.

Puntos singulares: puntos en los que la derivada no existe, pero sí la función.Condiciones suficientes para la existencia de extremos

Criterio de la primera derivada: se basa en el signo de la primera derivada.

Analizamos el signo de la primera derivada por la pendiente de la recta tangente a la curva en una vecindad de x0. (Véanse las figuras 5 y 6).

Teorema (Criterio de la Primera derivada)

Sea continua en = [ ] = [a, b] y derivable en = (a, b), ysupongamos que x0 (a, b) es un punto crítico o estacionario. Entonces:

1. Si para y para , entonces x0 es un punto de máximo local de .

2. Si para y para , entonces x0 es un punto de mínimo local de .

3. Si no cambia de signo en , entonces x0 no es un punto de extremo local de la función.

Ejemplo resuelto 5:

Determinar los extremos de: = .

Solución:

Hacemos

x = 1 ó x = -1

En lacercanía x = 1, si x < 1, < 0, y si x > 1, > 0. Luego, x = 1, punto de mínimo local.

Si un punto de abscisa es de mínimo, tiene asociado un valor ordenado, o valor de correspondiente, al que llamamos valor mínimo. Si es de máximo, le llamamos valor máximo.

En este caso en particular, el valor mínimo se obtiene encontrando el valor de .

= = 1 – 3 = -2, valor mínimo.

En la cercanía x =-1, si x < -1, > 0, y si x > -1, < 0, luego, x = 1, punto de máximo local.

(-1) = – 3(-1) = -1 + 3 = 2, valor máximo.

Criterios para funciones crecientes o decrecientes

Sea derivable en el intervalo (a, b). Si >0 para toda x en (a, b), entonces es creciente en (a, b). Si < 0, entonces es decreciente en el intervalo.

Luego, es creciente en ( ; -1) y (1; + ), y decreciente en (-1; 1).Representemos en un rayo numérico los valores críticos. (Véase figura 7). Verifique los signos de la primera derivada.

Ejemplo resuelto 7:

Determine los extremos relativos de las siguientes funciones y analizar la monotonía en todo su dominio.

a) = b) = x2.

Solución:

a)

Hallar los extremos relativos de la función, implica encontrar los cambios de signo de en el dominio de . Este...