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Aportes a la matematica
-creador de la geometría analítica (Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas)
-primero en ocupar las coordenadas cartesianas (Una manera de marcar una posición en un mapa o graficar qué tan lejos, y qué tan arriba oabajo está un punto.)

-Expresó por primera vez la duda sobre la posibilidad de solución a la duplicación del cubo. (Se denomina duplicación del cubo al problema de hallar, mediante el uso de regla y compás, el lado de un cubo tal que su volumen sea el doble del volumen de otro cubo de lado dado. Actualmente los instrumentos del álgebra son capaces de resolver este problema de forma trivial, pero larestricción de regla y compás era muy fuerte.)
-Resolvió el problema de Pappus mediante geometría analítica.( Descartes transcribe el enunciado del problema en latín, y su gran innovación se basa en la asignación de una longitud a los segmentos («y yo no temeré introducir estos términos de aritmética en la geometría, a fin de hacerme más inteligible») lo que permite su manipulación algebraicaoperacional.

Descartes no tiene ningún prejuicio geométrico en hablar en el Problema de Pappus del «producto de cuatro líneas rectas, de cinco o de más», es decir, su método no sólo permitirá resolver de forma brillante el problema clásico, sino que además propicia su más amplia generalización)

“Dadas tres, cuatro o más rectas, se trata de encontrar un punto del que se puedan trazar otrastantas líneas rectas, una sobre cada una de las dadas, y haciendo con ellas ángulos dados, y que el rectángulo formado por dos de esas así trazadas desde el punto, tenga una proporción dada con el cuadrado de la tercera, si no hay más que tres; o bien con el rectángulo de las otras dos, si hubiera cuatro; o bien si hay cinco que el paralelepípedo compuesto por tres tenga la proporción dada con elparalelepípedo formado por las dos que restan y por otra línea dada. O bien si hay seis, que el paralelepípedo formado por tres tenga una proporción dada con el paralelepípedo de las otras tres. O bien si hay siete, que lo que se produce multiplicando cuatro la una por la otra, tenga la razón dada con lo que se produce por la multiplicación de las otras tres y además por otra línea dada.O si hay ocho,que el producto de la multiplicación de cuatro tenga la proporción dada con el producto de las otras cuatro. Y así este problema se puede extender a todo número de líneas.

Pero, a causa de que hay siempre una infinidad de diversos puntos que pueden satisfacer lo que aquí se pide, se requiere también conocer y trazar la línea sobre la cual deben todos ellos encontrarse; y Pappus dice que cuandono hay más que tres o cuatro líneas rectas dadas, es en una de las tres secciones cónicas, pero él no trata de determinarla ni describirla; ni explicar la línea en que los puntos deben encontrarse cuando el problema está propuesto para un mayor número de líneas. Solamente agrega que los antiguos habían imaginado una, que mostraban ser útil y aunque parecía la más manifiesta, sin embargo no era laprimera. Lo que me ha dado ocasión para ensayar si, por el método de que me valgo, se puede ir tan lejos como ellos fueron.”

El problema de Pappus es complejo, pero enunciándolo con notación matemática actual seria:

Dadas 2n rectas, encontrar el lugar de los puntos tales que el producto de sus distancias, bajo ángulos dados, a n de esas rectas está en una relación dada con el producto delas distancias, bajo ángulos también dados, a las otras n rectas.

Respuesta al problema de Pappus
Descartes afirma que ha planteado el problema para tres, cuatro o cinco líneas, donde se pueden siempre encontrar los puntos buscados, por la geometría simple, es decir sin servirse más que de la regla y el compás, excepto solamente cuando, siendo cinco las líneas, ellas son todas paralelas....