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Matemática IV.

CICLO II

2011
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales.

Recopilación por Oscar Díaz

Universidad de El Salvador, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Unidad de Ciencias Básicas.

CLASE 1

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA.
Introducción.
Esta unidad está destinada a proporcionar al lector una visión preliminar de los distintos tipos de ecuaciones diferencialesordinarias, y a introducirle en la terminología básica. La clasificación presentada le permitirá situar la asignatura en un contexto general y en el futuro le servirá como un punto de referencia.

DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL.

U

na ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas se

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dx  x 2  t 2 incluye tanto la función dt dx desconocida x  t como su primera derivada x  t   . De la misma manera la ecuación dt d2y dy  3  7 y  0 incluye la función desconocida y y sus dos primeras derivadas y y y . 2 dx dx
llama ecuación diferencial. Por ejemplo, la ecuación En resumen, al resolver una ecuación diferencial nos enfrentamos al problema de determinar funciones desconocidas y    x  de tal manera que reduzcan la ecuacióndiferencial a una identidad en algún intervalo de números reales. Así, para la ecuación

d2y dy  3  7 y  0 la 2 dx dx

pregunta es ¿cuál es la función y    x  tal que su segunda derivada mas tres veces su primera derivada mas siete veces ella misma nos dé un resultado de cero?

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.
Las ecuaciones diferenciales las podemos clasificar de acuerdo altipo, orden y linealidad.

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO. Según este criterio, podemos clasificar las ecuaciones de
dos maneras 1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Si la ecuación diferencial contiene únicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces la clasificamos como ecuación diferencial ordinaria (EDO). Porejemplo

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dy  y  cos x, dx

d2y dy  6  2 y  0, 2 dx dx

dx dy   x  3y dt dt

Son todas ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. 2. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) Si la ecuación diferencial involucra las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes, entonces la clasificamos como ecuación diferencialparcial (EDP). Por ejemplo Nota: en este curso estudiaremos únicamente las EDO.

 2u  2u   0. x 2 y 2

Universidad de El Salvador, Facultad de Ingeniería y Arquitectura, Unidad de Ciencias Básicas.

CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN.
El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) representa el orden de la derivada

d2y  dy  más alta presente en la ecuación. Por ejemplo la ecuación 3    4 y  2e x es una 2 dx  dx 
EDO de segundo orden.

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CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD.
Según este criterio, podemos clasificar una ecuación diferencial como lineal o no lineal. 1. Ecuaciones diferenciales lineales Una EDO de n-ésimo orden es lineal si puede ser escrita de la siguiente manera

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an  x 

dny d n 1 y dy  an 1  x  n 1    a1  x   a0  x  y  g x  (1) n dx dx dx

Por ejemplo

d3y d2y dy  4 x 2  x  2 y  e x es una EDO lineal de tercer orden 3 dx dx dx

(EDOL). De este tipo de ecuaciones nos interesan de manera especial las de primero y segundo orden que tomarán las siguientes formas respectivamente.

a1  x 

dy dy  a0  x  y  g  x  por ejemplo  20 y  24 dx dt

a2  x 

d2y dy  a1  x   a0  x  y  g  x por ejemplo y  6 y  13 y  0 2 dx dx

Note que para la ecuación (1)  La potencia de la variable dependiente ( y en este caso) así como todas sus
n derivadas y, y, , y   es 1.

 

Los coeficientes a0 , a1 , , an que acompañan a las derivadas dependen a lo sumo de la variable independiente. Las funciones no lineales de la variable dependiente o de sus derivadas (como...