hola

Definiciu00f3n de Funciones en Dos Variables.
Definición 1:

Supongamos que

( x, y )

D

es un conjunto de n pares ordenados de números reales de la forma
. Una
f
z = f ( x, y )
D
función de valores reales
sobre
es una regla que asigna un número real
a cada
D . El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores z tomados por f es
elemento en
z es la variabledependiente de f y se dice que f es una
el recorrido de la función. El símbolo (letra)

x

función de las dos variables independientes:

y.

e

x e y , las variables de entrada de la función f y a
Llamaremos también a
variable de salida de la función.

z

la

Derivadas Parciales.
En las funciones de una sola variable, la derivada representa la tasa instantánea
de cambio en lavariable dependiente respecto al que se opera en la variable
independiente. En la función de dos variables, también es posible definir la derivada.
Nos centraremos en las derivadas parciales que representan la tasa instantánea de
cambio en la variable dependiente, pero con respecto a los cambios de las dos variables
independientes, tomadas por separado.

z = f ( x, y ) , puede calcularse unaderivada parcial respecto a cada

En una función
variable independiente.

Procedimiento para encontrar
1.

Para encontrar
función

2.

variables:

Ejemplo 1:

Note que tanto

e

y.

Dada la función
a.
b.

Ejemplo 2:

f y ( x, y )

fy

x

como constante y derive la

de la manera usual.

x

, considera a la variable

f y ( x, y )

y

y

considera a lavariable

con respecto a la variable

f x ( x, y )

:

y

como constante y derive la

de la manera usual.

son cada una de ellas funciones de las dos

f ( x, y ) = 7 − x 4 − 32 x + y 3 − 12 y

Primera derivada parcial con respecto a

x
y

Primera derivada parcial con respecto a

.

es

f x ( x, y ) = − 4 x3 − 32 .

es

f y ( x, y ) = 3 y 2 − 12

f ( x, y ) = e 2xy . Obtener f x ( x, y ) y f y ( x, y ) .
f x ( x, y ) = 2 y ⋅ e 2 xy .

Dada la función
a.
b.

z = f ( x, y ) :

f

y

con respecto a la variable

Para encontrar
función

x

f

fx,

f x ( x, y )

f y ( x, y ) = 2 x ⋅ e 2 xy

.

En la siguiente tabla se dan las notaciones para las derivadas parciales de una función

f

Derivada parcial de la función
o bien
x,respecto a la variable

z

con

Derivada parcial de la función

f

o bien

y
respecto a la variable ,

f x ( x, y )

f y ( x, y )

z x ( x, y )

z y ( x, y )

∂f
∂x

∂f
∂y

z

con

∂z
∂y

∂z
∂x

Derivadas Parciales de Segundo Orden
Igual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de segundo orden para las funcionesde dos variables. Estas serán de mucha importancia cuando tratemos de optimizar el valor de una función.

z = f ( x, y ) , entonces no sólo z es una función de las variables x e y , también
fy
fy
fx
fx

Si

y

lo son. Por lo tanto, podemos derivar

parciales de segundo orden de la función

f

y

para obtener las derivadas

.

Existen cuatro derivadas de segundo orden. Estasderivadas son usualmente denotadas
por

f xx
f xx

f yy f xy

,

,

significa:

y

f yx

( f x )x

:

f yy

,

significa:

significa:
Nota:

Para encontrar

f xy

(f ) .

(f ) ,

f xy

y y

(f x )y

,

f yx

y x

derivamos primero con respecto a la variable

y.

significa:

x

, luego respecto a la variable

En términos de la notación ∂se tiene la notación y significado siguiente:

∂2 f

=

∂  ∂f 

 ≡ f xx
∂x  ∂x 

=

∂
∂y

 ∂f 

 ∂y  ≡ f yy




∂2 f
∂
=
∂x∂y ∂x

 ∂f 

 ∂y  ≡ f yx




∂x 2
∂2 f
∂y

2

∂2 f
∂  ∂f 
=

 ≡ f xy
∂y∂x ∂y  ∂x 

Nota:

∂2 f
∂x∂y

Para obtener:
variable

Ejemplo:
orden.

Sí

x.

y
derivamos primero con respecto...