hola

5 SISTEMAS DE ECUACIONES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

5.1 Escribe estos enunciados en forma de una ecuación con dos incógnitas.
a) Un número más el doble de otro es 12.
b) La diferencia de dos números es 25.
c) Un número excede a otro en 40.
d) La mitad de la suma de dos números es 15.
a) x ϩ 2y ϭ 12
b) x Ϫ y ϭ 25
c) x Ϫ y ϭ 40
xϩy
d) ᎏᎏ ϭ 15
2

5.2 El triple de lasuma de dos números es 18. Escribe la ecuación correspondiente y calcula al menos tres
posibles soluciones.
La ecuación del problema es: (3x ϩ y) ϭ 18.
Si x ϭ 1 ⇒ 3(1 ϩ y) ϭ 18 ⇒ 1 ϩ y ϭ 6 ⇒ y ϭ 5
Si x ϭ 2 ⇒ 3(2 ϩ y) ϭ 18 ⇒ 2 ϩ y ϭ 6 ⇒ y ϭ 4
Si x ϭ 3 ⇒ 3(3 ϩ y) ϭ 18 ⇒ 3 ϩ y ϭ 6 ⇒ y ϭ 3

5.3 La diferencia de dos números naturales es 5 y ambos son menores que 12. ¿Qué números pueden ser?Escribe las posibles soluciones en una tabla.
x e y son dos números naturales y las condiciones son: x Ϫ y ϭ 5 y x < 12.
Las soluciones son:
x 11 10 9

8

7

6

y

3

2

1

6

5

4

5.4 La suma de las edades de dos hermanos es 12 y el doble de la edad de uno menos la del otro es 3.
Plantea el sistema de ecuaciones y comprueba si alguna de estas parejas es solución delsistema.
x ‫ ,6 ؍‬y ‫ ;6 ؍‬x ‫ ,5 ؍‬y ‫ ;9 ؍‬x ‫ ,5 ؍‬y ‫;7 ؍‬

·

x ϩ y ϭ 12
La solución correcta es x ϭ 5, y ϭ 7.
2x Ϫ y ϭ 3
84

5.5 Indica de qué tipo son estos sistemas según el número de soluciones que tienen.
a)

Ά x ؊؉2y ؉ 3 ‫0 ؍‬
3x
9 ‫6 ؍‬y

b)

Ά x ؉؊2y ‫4 ؍‬
3x
y‫5؍‬

Se comparan los coeficientes de las variables y los términos independientes.
1
Ϫ2
Ϫ3
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭᎏᎏ ⇒ El sistema es compatible indeterminado porque tiene infinitas soluciones.
3
Ϫ6
Ϫ9
1
b) ᎏᎏ
3

2
ᎏᎏ ⇒
Ϫ1

El sistema es compatible determinado porque tiene una única solución.

5.6 Explica las transformaciones que se han hecho en las siguientes ecuaciones para pasar de un sistema a
otro. ¿Son sistemas equivalentes?

Ά 2x ؉ 3y ‫ ⇒ 31 ؍‬Ά 4x ؉ 6y ‫62 ؍‬
3x ؊ 2y ‫0 ؍‬
9x ؊ 6y‫0 ؍‬
Utiliza la regla de la suma para resolver el sistema.
La primera ecuación se multiplica por 2, y la segunda, por 3.
Estas ecuaciones son equivalentes a las anteriores, puesto que si multiplicamos toda la ecuación por un mismo
número, resulta una ecuación equivalente a la dada.
Resolución del sistema:
2
Se suma 2y a la segunda ecuación: 3x Ϫ 2y ϩ 2y ϭ 2y ⇒ x ϭ ᎏᎏ y
3
2
Se sustituye enla primera ecuación: 2 и ᎏᎏ y ϩ 3y ϭ 13 ⇒ y ϭ 3
3
Se sustituye el valor calculado en la segunda ecuación: 3x Ϫ 2 и 3 ϭ 0 ⇒ x ϭ 2

5.7 Resuelve los siguientes sistemas sumando o restando ecuaciones.
a)

Άx ؉ y ‫2 ؍‬
x؊y‫6؍‬

b)

Ά 2x ؊ 3y ‫31 ؍‬
4x ؊ 3y ‫7 ؍‬

a) Se suman las dos ecuaciones: 2x ϭ 8 ⇒ x ϭ 4.
Si se sustituye en la primera ecuación: y ϭ Ϫ2.
b) Se restan las dosecuaciones: Ϫ2x ϭ 6 ⇒ x ϭ Ϫ3.
19
Si se sustituye en la primera ecuación: y ϭ Ϫᎏᎏ .
3

5.8 Escribe un sistema equivalente al siguiente:
2y
25
Ά 3x؉؊5y ‫01؍؍‬
x
Se multiplica la primera ecuación por 5 y la segunda por 2.
15x
10y
125
Ά 2x ϩϪ10y ϭϭ20
85

5.9 Resuelve los siguientes sistemas lineales por los tres métodos algebraicos estudiados.
a)

y
Ά 4x؉؊3y ‫2 ؍‬
x
‫7؍‬

c)

d)Ά

4x ؊ y ‫8؊ ؍‬
b)
x ؊ 5y ‫12؊ ؍‬

Ά

a) Método de reducción:

4x Ϫ y ϭ 2
⇒
x ϩ 3y ϭ 7

Ά 2x ؊ y ‫55؍؍‬
4x ؉ 3y

Ά

3x
2y
—— ؉ —— ‫5 ؍‬
4
3
x
—— ؉ y ‫5 ؍‬
2

Ά 12xx Ϫ 3y ϭ 6 ⇒ xy ϭ 1
ϩ 3y ϭ 7
ϭ2
13x ϭ 13

2ϩy
2ϩy
x ϭ ᎏᎏ
yϭ2
⇒ ᎏᎏ ϭ 7 Ϫ 3y ⇒ 2 ϩ y ϭ 28 Ϫ 12y ⇒
4
xϭ1
4
x ϭ 7 Ϫ 3y

Ά

Método de igualación:

Ά

Método de sustitución:

Ά 4xϩϪ3yy ϭ 2⇒ Ά yx ϭ (4x ϪϪ2)2) ϭ 7 ⇒ 13x ϭ 13 ⇒ xy ϭ 1
x
ϭ7
ϩ 3(4x
ϭ2
Ά

b) Método de reducción:

4x Ϫ y ϭ 2
⇒
x ϩ 3y ϭ 7

Ά Ϫ20xx ϩ 5y ϭ ϩ40 ⇒ xy ϭ Ϫ1
Ϫ 5y ϭ Ϫ21
ϭ4

4x Ϫ y ϭ Ϫ8
⇒
x Ϫ 5y ϭ Ϫ21

Ϫ19x ϭ Ϫ19

Ϫ8 ϩ y

Método de igualación:

Ϫ8 ϩ y
ᎏ
Ά 4xϪϪ5yy ϭ Ϫ8 ⇒ Ά xx ϭ Ϫ214ᎏ5y ⇒ ᎏ4ᎏ ϭ Ϫ21 ϩ 5y ⇒ yx ϭ 4
x
ϭ Ϫ21
ϭ Ϫ1
ϭ
ϩ

Método de sustitución:

8
Ά x4xϪϪ5yy ϭ Ϫ8 ⇒...