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UNIVERSIDAD DE MÁLAGA ´ ´ ´ GRADO EN INGENIER´A ELECTRONICA, ROBOTICA Y MECATRONICA I ´ ESTAD´STICA E INVESTIGACION OPERATIVA (108) I Curso 2011-2012 ´ RELACION 2
1. Estudiar cu´les de las funciones siguientes, o bajo qu´ condiciones, pueden definir la a e funci´n de masa (o distribuci´n de probabilidad) de una variable aleatoria discreta que o o toma los valores que se indican. Para aquellaspara las que la respuesta sea afirmativa, calc´lese su funci´n de distribuci´n. u o o 8 ⇢ >1 > > > ⇢ < 3 si 0  x < 1 0 si x < 0 a) F (x) = b) F (x) = > 1 si x 0 > 2 si 1  x < 2 > > >5 > : 1 si x 2 8 si x  0 ⇢ 0 > > > 0.1 si 0  x < 1 > < F (x) = 0.3 si 1  x < 3 > > > 0.6 si 3  x < 6 > > : 1 si x 6

Se pide: a) Calcular la funci´n de masa de X. o b) Calcular las probabilidades de que X tomevalores en cada uno de los intervalos (0, 3], (1, 6), [1, 6] y (6, 10]. c) Calcular P (X 2 (0, 5] | X > 1).

6. Dada una v.a. continua X con funci´n densidad o ⇢1 |x| si x 2 ( 2, 2) f (x) = 4 0 en otro caso Determinar la funci´n de distribuci´n de X. o o 7. Calcular la funci´n de densidad de una v.a X o por 8 >0 > > > > > >x + 1 > < 2 F (x) = > >x+1 > >4 2 > > > > : 1 cuya funci´n de distribuci´nest´ definida o o a si x < si
1 2 1 2

x 0.8, tendremos gasolina del tipo 3 a 1 euro el litro. a) Calcular la funci´n de distribuci´n de X. o o b) Calcular los porcentajes de producci´n de cada tipo de gasolina. o c) Calcular el precio medio por litro.

11. El tiempo (en horas) que una m´quina de un cierto tipo tarde en averiarse es una a variable aleatoria T con funci´n de densidad o 8 < 1 et/100 si t > 0 f (t) = 100 : 0 en otro caso

En un taller hay tres m´quinas de este tipo, numeradas de 1 a 3, funcionando indea pendientemente. Calcular: a) Probabilidad de que la m´quina n´mero 1 falle en las 100 primeras horas. a u b) Probabilidad de que falle al menos una de las m´quinas en las 100 primeras horas. a c) Sabiendo que en las 100 primeras horas ha fallado al menos una de lasm´quinas, a ¿cu´l es la probabilidad de que en este periodo se haya averiado la m´quina a a n´mero 1? u

12. La velocidad (en km/h) de los coches que pasan por determinado punto kilom´trico e es una variable aleatoria con funci´n de densidad o 8 x > si 0 < x < 100 > > 10000 > < f (x) = 200 x si 100 < x < 200 > 10000 > > > : 0 en otro caso

a) Calcular la probabilidad de que un veh´ ıculo circule am´s de 120 km/h si se sabe a que su velocidad es superior a 100 km/h. b) En ese punto se encuentra situado un radar con el objeto de controlar la velocidad y multar a los veh´ ıculos que superen los 100 km/h. El importe de la multa es de 100 euros, si la velocidad est´ comprendida entre 100 y 120 km/h, y es de 200 a euros, si la velocidad es superior a 120 km/h. Calcular la esperanza de lavariable aleatoria “importe de la multa que tiene que pagar un veh´ ıculo elegido al azar”.

13. Una organizaci´n de consumidores, que eval´a autom´viles nuevos, publica regularo u o mente el n´mero de defectos importantes detectados en cada tipo de autom´vil de las u o marcas disponibles en el mercado. Sea X la variable aleatoria que representa el n´meros de defectos importantes en u un autom´vilseleccionado al azar de los disponibles en el mercado. La funci´n de o o distribuci´n de X es o 8 si x < 0 >0 > > 0.06 si 0  x < 1 > > > > 0.19 si 1  x < 2 > > < 0.39 si 2  x < 3 F (x) = > 0.67 si 3  x < 4 > > > 0.92 si 4  x < 5 > > > > 0.97 si 5  x < 6 > : 1 si x 6 a) Calcular la funci´n de masa de X. o b) Calcular la esperanza matem´tica, los tres cuartiles y la varianza de X. a c) ¿C´al esla probabilidad de que el n´mero de defectos detectados est´ comu u e prendido en el intervalo (E(X) 2Var(X), E(X) + 2Var(X))?¿Y en el intervalo ✓ ◆ 1 1 E(X) Var(X), E(X) + Var(X) 2 2 d) Calcular la funci´n de distribuci´n de la variable aleatoria Y = |X 2 4|. o o 14. Una compa˜´ de seguros ofrece a sus clientes varias opciones diferentes para el pago nıa de sus p´lizas. Para un cliente...