hola


TEOREMA DEL BINOMIO
BINOMIO DE NEWTON

Recordemos algunos productos de binomios:






De los desarrollos precedentes, deducimos que, si “” es un entero positivo, , se tiene:Luego, es fundamental observar las siguientes propiedades:

1. El número de términos del desarrollo es
2. El primer término del binomio aparece como primer término del desarrollo con exponente , elsegundo con , en el tercero con , y así sucesivamente.
3. El segundo término del binomio aparece en el segundo término del desarrollo con exponente 1, en el tercero con exponente 2, en el cuarto conexponente 3, y así sucesivamente.
4. La suma de los exponentes de los términos del binomio y es en todo término del desarrollo.
5. El coeficiente del primer término del desarrollo es 1, el delsegundo es , el del tercero es , el del cuarto es , etc.
6. Los coeficientes de términos equidistantes de los extremos del desarrollo son iguales. Cabe hacer notar que, el número de factores en elnumerador y denominador de cualquier coeficiente, excepto el primero y el último, es el menor de los exponentes de o de .

Ejemplo 1.
Desarrollar y simplificar.

Solución:Finalmente, se tiene:



Ejemplo 2.
Desarrollar
Solución:



En efecto:





Además cabe señalar que, el Teorema del Binomio o Binomio de Newton, también se puede escribir dela siguiente manera:







Como así también tenemos la expresión:





Luego la notación:


Donde:
= Indica el número de combinaciones de objetos distintos tomados de en .= Corresponde a la función factorial

Definición:
Sea un número natural, llamaremos factorial de y lo denotaremos por al producto de por cada uno de los naturales menores a él, esto es:Propiedades:

a.

b.


c.

d.



El término k-ésimo del desarrollo de

El término k-ésimo del desarrollo de está definido por la siguiente expresión:




Ejemplo:...