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Clasificación de cónicas en irreducibles y reducibles

Las cónicas son figuras planas que resultan de seccionar una superficie cónica circular con
un plano.
Si el plano no pasa por el vértice de la superficie cónica, las figuras se denominan cónicas
irreducibles.
Si en cambio, el plano pasa por el vértice de la superficie cónica se obtienen las
denominadas cónicas reducibles odegeneradas.
Luego:
(1) Cónicas irreducibles. Son:

Parábola. Cuando el plano π es paralelo a una sola generatriz.
Elipse. Cuando el plano π interseca a todas las generatrices de la superficie cónica.
Caso particular: Si π es perpendicular al eje de la superficie cónica se obtiene una
circunferencia.
Hipérbola. Cuando el plano π es paralelo a dos generatrices.

(2) Cónicas reducibles odegeneradas. Son:

Una recta
(π es tangente a la
superficie cónica)

Dos rectas reales
(son dos generatrices)

Dos rectas imaginarias
(π sólo interseca a la superficie
en el vértice)

2

Ecuación general de segundo grado con dos variables
Todas las cónicas responden a la ecuación general de segundo grado con dos variables:

a11 x 2 + a22 y 2 + 2 a12 x y + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0
(cona11, , a22 y a12 no simultáneamente nulos)
a11 x2 y a22 y2 son los términos cuadráticos; 2 a12x y es el término rectangular; 2 a13 x
son los términos lineales y, finalmente, a33 es el término independiente.

y 2 a23 y

Circunferencia
Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto fijo del mismo.
El punto fijo de denomina centro de la circunferencia y la distancia decualquier punto de la
circunferencia al centro de la misma se denomina radio.
Para hallar la ecuación de una circunferencia con centro en un punto O’= ( α ; β ) y radio r,
podemos proceder de la siguiente manera:

Y
P = (x;y)

y

Consideremos un P = (x;y) cualquiera
de la circunferencia.
Por el teorema de Pitágoras:

β

O
OQ 2 + QP 2 = OP 2

Q

α
O sea:

(1)

x

(x - α )2 +(y - β )2 = r2

Ecuación ordinaria de la circunferencia.

Desarrollando el primer miembro de esta igualdad:
x2 + y2 –2 α x – 2 β y + α2 + β2 = r2
x2 + y2 –2 α x – 2 β y +( α2 + β2 − r2) = 0

O bien

x2 + y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0

Ecuación general de la circunferencia.

3
Observaciones:
(1)
(2)
(3)

Los coeficientes de los términos cuadráticos son iguales (a uno).
Notiene término rectangular: a12 = 0.
El término independiente es: a33 = α2 + β2 − r2.

Como caso particular de circunferencia podríamos considerar a las que tienen el centro
coincidente con el origen de coordenadas. En tal caso, la ecuación correspondiente se
denomina ecuación canónica de la circunferencia y se puede obtener haciendo en ( 1 ):
α = β = 0.

Luego:

x2 + y2 = r2

Ejercicio1. Sea la ecuación:

Ecuación canónica de la circunferencia

x2 - 4 x + y2 + 8 y - 5 = 0

Redúzcala a la forma ordinaria. Proporcione las coordenadas del centro y el radio de la
circunferencia.

Desarrollo:
Para resolver este ejercicio, vamos a seguir un procedimiento que se conoce con el nombre
de “completar cuadrados” y que consiste en lo siguiente: si consideramos, por ejemplo, lostérminos en la variable x, o sea, x2 - 4 x , ¿qué número debemos sumar a esta expresión para
obtener un trinomio cuadrado perfecto? Obviamente, la respuesta es: 4. En efecto,
x2 - 4 x + 4 = (x – 2)2
Luego, si en la ecuación dada reemplazamos x2 - 4 x por (x – 2)2, estamos sumando 4 al
primer miembro. Para que la igualdad no altere, también sumamos 4 al segundo miembro. Así:
(1)
(x – 2)2 + y2+ 8 y – 5 = 4
Análogamente, si consideramos los términos en y , o sea, y2 + 8 y, para obtener un trinomio
cuadrado perfecto debemos sumar 16:
y2 + 8 y + 16 = (y + 4)2
Si en (I) reemplazamos y2 + 8 y por (y + 4)2, para que la igualdad se siga manteniendo,
debemos sumar 16 al segundo miembro.
Luego,
(x – 2)2 +(y + 4)2 – 5 = 4 + 16

O bien:

(x – 2)2 +(y + 4)2 = 25

Se trata de una...