Hola

Sustituyendo (5) en (3) se obtiene entonces que:



Es decir, en caso de independencia, la probabilidad de que ocurran dos sucesos de forma simultánea es igual al producto de las probabilidades individuales de ambos sucesos.Así, dos sucesos son independientes, si el resultado de uno no tiene efecto en el otro; o si el que ocurra el primero de ellos no hace variar la probabilidad de que se deel segundo.

Obviamente, en la práctica, y debido a las variaciones en el muestreo, será extremadamente difícil encontrar una muestra que reproduzca de forma exacta las condiciones de independencia anteriores. El determinar si las diferencias observadas son o no compatibles con la hipótesis de independencia constituye uno de los principales problemas que aborda la estadística inferencial.

Sise considera un fenómeno con k resultados posibles, mutuamente excluyentes, B1, B2,...,Bk y se conoce la probabilidad de cada uno de ellos, el llamado Teorema de las Probabilidades Totales permite calcular la probabilidad de un suceso A a partir de las probabilidades condicionadas:

Utilizando la expresión para el cálculo de la probabilidad de la intersección de dos sucesos se tiene que y, porlo tanto:



En el ejemplo anterior, podría aplicarse este resultado para el cálculo de la incidencia de la enfermedad en la población de estudio:



Las leyes aditiva y multiplicativa, junto con la noción de probabilidades condicionadas y el teorema de las probabilidades totales se han empleado para desarrollar el llamado Teorema de Bayes, de indudable interés en la aplicación de laestadística al campo de la medicina. Si se parte de la definición de probabilidad condicionada (4):


ó


siempre que y . Aplicando además el teorema de las probabilidades totales se llega a que:



El diagnóstico médico constituye un problema típico de aplicación del Teorema de Bayes en el campo médico, puesto que permite el cálculo de la probabilidad de que un paciente padezca unadeterminada enfermedad una vez dados unos síntomas concretos. La capacidad predictiva de un test o de una prueba diagnóstica suele venir dada en términos de su sensibilidad y especificidad12. Tanto la sensibilidad como la especificidad son propiedades intrínsecas a la prueba diagnóstica, y definen su validez independientemente de cuál sea la prevalencia de la enfermedad en la población a la cual seaplica. Sin embargo, carecen de utilidad en la práctica clínica, ya que sólo proporcionan información acerca de la probabilidad de obtener un resultado concreto (positivo o negativo) en función de si un paciente está realmente enfermo o no. Por el contrario, el concepto de valores predictivos, a pesar de ser de enorme utilidad a la hora de tomar decisiones clínicas y transmitir información sobre eldiagnóstico, presenta la limitación de que dependen en gran medida de lo frecuente que sea la enfermedad a diagnosticar en la población objeto de estudio. El Teorema de Bayes permite obtener el valor predictivo asociado a un test al aplicarlo en poblaciones con índices de prevalencia muy diferentes.

Consideremos como ejemplo un caso clínico en el que una gestante se somete a la prueba desobrecarga oral con 50 gramos de glucosa para explorar la presencia de diabetes gestacional, obteniéndose un resultado positivo. Es sabido que dicho test presenta unos valores aproximados de sensibilidad y especificidad en torno al 80% y al 87%, respectivamente. Si se conoce además que la prevalencia de diabetes gestacional en la población de procedencia es aproximadamente de un 3%, por medio delteorema de Bayes podemos conocer la probabilidad de que el diagnóstico sea correcto o, equivalentemente, el valor predictivo positivo:





Se puede concluir por lo tanto que, a pesar de obtener un resultado positivo en la prueba, existe sólo una probabilidad de un 15,9% de que la paciente padezca diabetes gestacional.

Supongamos que además dicha paciente tiene más de 40 años de edad. Se sabe...