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Unidad III

Límites y Continuidad




























COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:
Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Proponer una sucesión de tipo geométrico o unaprogresión aritmética y determinar el valor al que converge la sucesión cuando la variable natural tiende a infinito.
Extrapolar el concepto de límite de una función de variable natural al de una función de variable real.
Calcular “de manera práctica” el límite de una función (sustituyendo directamente el valor al que tiende la variable).
Calcular el límite de una función utilizando laspropiedades básicas de los límites.
Plantear una función que requiere para el cálculo de un límite, el uso de límites laterales.
Identificar límites infinitos y límites al infinito.
Reconocer a través del cálculo de límites, cuándo una función tiene asíntotas verticales y/o cuándo asíntotas horizontales.
Plantear funciones donde se muestre analítica y gráficamente diferentes tipos dediscontinuidad







3.1 Límite de una variable y de una sucesión.
Considere el siguiente problema geométrico, sea el área de un círculo y el área de un polígono regular inscrito con un número cualquiera de lados, que se supone que n crece infinitamente, entonces, el área variable tiende así hacia un límite, y este límite se define como el área del círculo.









Como seobserva el área del polígono va aumentado y la diferencia va disminuyendo hasta que finalmente llega a ser menor que cualquier número positivo o cero, es decir el área del polígono inscrito de un número infinito de lados tiende a ser igual al área del círculo.

Considere como variable al área del polígono , y como constante al área del círculo , entonces se tiene la siguiente:







Estadefinición nos lleva a comprender que la diferencia entre la variable y la constante puede hacerse tan pequeña como se desee tomando a suficientemente cerca de pero sin llegar a .

Una sucesión es un conjunto de términos formados por una ley o regla determinada. Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita, mientras que si el número de términos esilimitado se le denomina sucesión infinita.

El dominio de una sucesión es el conjunto de los números enteros positivos. Los valores funcionales se llaman los términos de la sucesión, la regla de la sucesión se expresa por el enésimo término .

Ejercicio 1:
Sean las sucesiones siguientes, determine el límite al cual convergen estas:
a) ; determine







b) ; determine3.2 Límite de una función de variable real.
Sea una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en el mismo número . El límite de conforme se aproxima a es , lo cual se escribe como:



Lo cual se denota como , siempre y cuando la siguiente proposición sea verdadera:





Es decir, esta definición establece que los valores de lafunción se aproxima al límite conforme lo hace al número si el valor absoluto de la diferencia entre y puede hacerse tan pequeña como se desee tomando suficientemente cerca de pero no igual a .

Ejercicio 2:
Realice la estimación numérica del límite de las funciones siguientes:







0.8
0.85
0.9
0.99
0.999
1
1.001
1.01
1.1
1.15
1.2

2.44
2.5725
2.71
2.9701
2.9973
3.003
3.0301
3.31
3.4725
3.64


















1.88
1.89
1.9
1.99
1.999
2
2.001
2.01
2.1
2.11
2.12

0.88
0.89
0.9
0.99
0.999
-1
-1.001
-1.01
-1.1
-1.11
-1.12













3.3 Teoremas de los límites.
Con la finalidad de calcular límites de manera más fácil que cuando se utiliza la definición se emplean teoremas de límites, cuyas...