hola

´
Pauta Solemne 2 Algebra, Ing. Comercial, Santiago
1. Para el polinomio : P (x) = 4x4 + 12x3 + 7x2 + ax + b , se sabe que 2x + 1 y x + 2 son
factores del polinomio
(a) Determine lasconstantes a y b.
(b) Encuentre todas las ra´ del polinomio.
ıces
Soluci´n:
o
(a) De acuerdo a los datos, los factores del polinomio son: 2x + 1 = 2(x + 1 ), y x + 2 por
2
lo cual, de acuerdo alTeorema del resto, el polinomio es divisible por ambos factores
y se obtiene: P (−2) = 0 y P (− 1 ) = 0 ,reemplazando se obtiene el sistema:
2
−2a + b = 4
−a + 2b = −1
que significa : a = −3, b = −2(b) Dividiendo el polinomio P (x) = 4x4 + 12x3 + 7x2 − 3x − 2 por (2x + 1)(x + 2)
obtenemos el polinomio : 2x2 + x − 1, para encontrar sus dos ra´ aplicamos la
ıces
f´rmula de la ecuaci´n de segundogrado, obteniendo las ra´
o
o
ıces:−1 y 1 . Las otras dos
2
ra´ provienen de los factores : 2x + 1 y x + 2, por lo que sus restantes ra´ son:
ıces
ıces
1
− 2 , −2.
2. Encuentre ladescomposici´n en suma de fracciones parciales para:
o
x2

2
1
− 3
+ 3x − 10 x + x

Soluci´n:
o

x2

2
2
A
B
=
=
+
+ 3x − 10
(x − 2)(x + 5)
x−2 x+5

Dando los valores x = 2 y x = −3obtenemos A =

2
7

=⇒ 2 = A(x + 5) + B(x − 2)
, B = −2
7

2
2
2
=
−
(x − 2)(x + 5)
7(x − 2) 7(x + 5)
x3

1
1
C Dx + E
=
= + 2
2 + 1)
+x
x(x
x
x +1

=⇒ 1 = C(x2 + 1) + x(Dx +E)

dando los valores: x = 0, x = 1, x = −1 generamos las soluciones C = 1 , D = −1 , E = 0.
1
1
x
= − 2
+ 1)
x x +1

x(x2

1

finalmente:

x2

2
1
2
2
1
x
− 3
=
−
− + 2
+3x − 10 x + x
7(x − 2) 7(x + 3) x x + 1

3. Demuestre la identidad:
sec2

x
2
=
2
1 + cos x

Soluci´n:
o
De acuerdo a la f´rmula del ´ngulo doble: cos(2α) = cos2 (α) − sin2 (α) ,haciendo 2α = x
o
a
2 x
tenemos : cos(x) = cos ( 2 ) − sin2 ( x ) , entonces:
2
2
2
2
=
=
2 x =
x
1 + cos x
2 cos2 ( x )
1 + cos2 ( 2 ) − sin ( 2 )
2

1
cos( x )
2

2

= sec2

x...