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Publicado: 18 de junio de 2012
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia C está definida como el valor constante de los productos de las distancias entre dichopunto y los puntos determinados en la circunferencia por cualquier secante que pasa por P, y se denotará por PotC(P). Según la figura 3,
Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia.donde d = y r es el radio de la circunferencia.
Como d2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2, se obtiene la expresión analítica de la potencia:
o bien
La primera expresión es el resultado de sustituiren el primer miembro de la ecuación de la circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 − r2 = 0 las coordenadas del punto P, mientras que la segunda se obtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuación dela forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Como un punto P(x0, y0) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, según se verifique, respectivamente,
Ejemplo 4.1
1. La potenciade P(−2, 3) respecto de la circunferencia C : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 es
PotC(P) = (−2)2 + 32 − 2(−2) − 4 · 3 + 1 = 6.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia |
Considérese unacircunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto P se trazan dos secantes a la circunferencia, obteniéndose los puntos A, A', B y B'.
El valor común recibe el nombre de potencia del punto P respecto
de la circunferencia dada.
Demostración:
Estos dos triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo
· Aplicando la proporcionalidad de los lados homólogos en los triángulos semejantes, se tiene:
Cálculo de la potencia de un punto respecto de unacircunferencia |
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la circunferencia, d 2, menos el cuadrado del radio de la...
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia C está definida como el valor constante de los productos de las distancias entre dichopunto y los puntos determinados en la circunferencia por cualquier secante que pasa por P, y se denotará por PotC(P). Según la figura 3,
Figura 3: Potencia de un punto respecto de una circunferencia.donde d = y r es el radio de la circunferencia.
Como d2 = (x0 − a)2 + (y0 − b)2, se obtiene la expresión analítica de la potencia:
o bien
La primera expresión es el resultado de sustituiren el primer miembro de la ecuación de la circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 − r2 = 0 las coordenadas del punto P, mientras que la segunda se obtiene sustituyendo dichas coordenadas en la ecuación dela forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Como un punto P(x0, y0) es exterior, pertenece a la circunferencia o es interior, según se verifique, respectivamente,
Ejemplo 4.1
1. La potenciade P(−2, 3) respecto de la circunferencia C : x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 es
PotC(P) = (−2)2 + 32 − 2(−2) − 4 · 3 + 1 = 6.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia |
Considérese unacircunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto P se trazan dos secantes a la circunferencia, obteniéndose los puntos A, A', B y B'.
El valor común recibe el nombre de potencia del punto P respecto
de la circunferencia dada.
Demostración:
Estos dos triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo
· Aplicando la proporcionalidad de los lados homólogos en los triángulos semejantes, se tiene:
Cálculo de la potencia de un punto respecto de unacircunferencia |
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la circunferencia, d 2, menos el cuadrado del radio de la...
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