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Relaciones geométricas del pentágono regular[editar · editar código]

Relación con el número áureo[editar · editar código]


Pentagrama y pentágono
Veamos que la razón entre un segmento que unados de sus vértices no consecutivos y uno de los lados del pentágono es la razón aúrea o número áureo, por ejemplo que
CE=\left({\frac {1+{\sqrt 5}}2}\right)CD
Por simetría, los segmentos CE y CAson iguales. Observamos que los triángulos ANF y CMF son semejantes. De la semejanza de sus lados tenemos que
{\frac {MC}{AN}}={\frac {FC}{AF}}
Observemos que MC es la mitad de CE y que AN es lamitad de AB. Por otra parte, como el triángulo FCD es isósceles, tenemos que FC = CD. Así podemos escribir AF = AC - FC = CE - CD. Por tanto
{\frac {CE}{CD}}={\frac {CD}{CE-CD}}={\frac{1}{CE/CD-1}}
Sustituyendo CE/CD por \phi tenemos
\phi ={\frac {1}{\phi -1}}\qquad \,(1)
en otras palabras \phi -1=1/\phi . Esta ecuación describe la razón dorada. \phi es el único número positivo quecuando le restamos la unidad, obtenemos su inverso.
De la discusión anterior se desprende: Si en un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base vale 108°, la razón de la base del triángulo y uno delos otros lados es la razón dorada.
Algunas consideraciones sobre triángulos[editar · editar código]
Pentagon discussion.svg
Consideremos a un pentágono (regular) y la circunferencia circunscrita adicho pentágono. Tracemos la perpendicular por el centro de la circunferencia al lado DA del pentágono y sea M la intersección de esta perpendicular con la circunferencia El ángulo AOB mide360°/5=72° y el ángulo AOM es su mitad, es decir 36°. El ángulo MOB, suma de estos dos vale 108° y como el triángulo AOB es isósceles tenemos que
La razón entre el segmento MB y el radio OM de la circunferenciaes la razón dorada
\angle BMO=(180^{\circ }-108^{\circ })/2=72^{\circ }/2=36^{\circ }
Así, sea P la intersección de las rectas OA y MB. El triángulo PMO es isósceles, y la razón entre el radio...