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Función de producción

La función de producción representa la máxima cantidad que se puede producir de un bien con unos recursos; por lo tanto es una aplicación que a un vector de recursos le hace corresponder un escalar que representa la cantidad producida. La función de producción de un productor relaciona la cantidad usada de factores de producción con la producción obtenida gracias a ella.El productor puede ser una economía, un sector productivo o una determinada industria.
Supuestos básicos

No cualquier función de los factores de producción resulta una función de producción razonable, por esa razón se consideran una serie de supuestos que se cree debería satisfacer toda función de producción realista. Los factores de producción incluyen en casi todos los casos de interéspráctico trabajo y capital; pudiendo incluir en algunos casos tierra, materias primas o recursos naturales. Frecuentemente se simplifica suponiendo que en muchos sectores sólo interviene el capital y el trabajo, aunque esto puede no ser adecuado para otros sectores en particular que consumen una cantidad apreciable de recursos naturales o industriales aveces campos BURRO.

En ese caso la función deproducción \scriptstyle F(\cdot,\cdot) es una función monótona creciente en las variables capital (K), trabajo (L) y otros factores de producción (Ri), siendo la producción Y se tiene:

(1)Y = F(K,L,R_i)\,

Los supuestos básicos comunes son:

F(K,0,R_i) = 0,\ \forall K, es decir, se asume que sólo es posible obtener algo de producto usando una mínima cantidad de trabajo L. Aunque estesupuesto se usa comúnmente no es esencial para la discusión de funciones de producción.
F'_K, F'_L, F'_i > 0 \,, es decir, las productividades marginales del capital, el trabajo y los demás recursos son positivas.
F'_{KK}, F'_{LL} F'_{ii}< 0 \,, es decir, las productividades marginales son decrecientes, tal como establece la ley de los rendimientos decrecientes.
F(\lambda K, \lambdaL, \lambda R_i),\ \forall \lambda, es decir, se supone que los rendimientos de escala son constantes, lo implica que la función de producción será una función homogénea de primer grado.

La condición (4) no es realmente una limitación, ya que como se verá más adelante, una función de rendimientos de escala decrecientes, puede ser representada por una función de redimientos de escala constantesen la que se introduce formalmente un factor de producción adicional llamado "mítico" o factor "limitante".
Ejemplos
Función de producción de Cobb-Douglas

Una tipo de función de producción ampliamente usado es la función de producción de Cobb-Douglas (con rendimientos de escala constante) que tiene la forma:

Y = A(R_i)\cdot K^\alpha L^{1-\alpha}

Esta función tiene la importantepropiedad de que \scriptstyle \alpha representa la participación del capital y la participación de la mano de obra \scriptstyle 1-\alpha y la productividad total de los factores puede escribirse fácilemnte como:

PTF = \frac{\Delta A }{A} = \frac{1}{A} \sum_{i=1}^n \frac{\part A(R_i)}{\part R_i} \Delta R_i

Función de producción CES

La función de producción con elasticidad constante desubstitción (CES por sus siglas en inglés) viene dada matemáticamente por la expresión:

Y = (a_K K^\rho + a_L L^\rho)^\frac{1}{\rho}

Esta función tiende a parecerse una función de Cobb-Douglas cuando \scriptstyle \rho \to 0.
Rendimientos de escala
Artículo principal: Rendimientos de escala

Dada una economía de producción o un proceso productivo representables mediante una función deproducción, se dice que la tecnología empleada o la economía tiene rendimientos de escala decrecientes si:

\forall \lambda>1:\qquad F_D(\lambda K,\lambda L,\lambda R_i) < \lambda F_D(K,L,R_i)

Eso significa que por ejemplo al duplicar todos los factores la producción total no llega a duplicarse. Eso puede deberse por ejemplo a dentro de la economía o el sistema de producción existan...