hola

CAP´
ITULO 2
´
NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
IA

2.1.

NOCIONES PRIMITIVAS

Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia.
Conjunto
Podemos entender al conjunto como, colecci´n, grupo de objetos o cosas. Por ejemplo,
o
el conjunto formado por los “objetos” 1, a, casa.
Denotaremos a los conjuntos con letras may´sculas A, B, etc., as´ A es elconjunto
u
ı,
formado por los elementos: 1, a, casa.
Elemento
Un elemento es cualquier objeto o cosa en el conjunto. Los denotamos con letras
min´sculas y al elemento gen´rico lo denotamos x.
u
e
Pertenencia
Denotado por el s´
ımbolo ∈, relaciona las dos nociones primitivas anteriores. Si el elemento 1 est´ en el conjunto, anotamos: 1 ∈ A y se lee: “el elemento 1 pertenece al conjunto
aA” o simplemente “1 est´ en A”.
a
Si el elemento x no pertenece al conjunto A, escribimos: x ∈ A.
/
Conjuntos por extensi´n y por comprensi´n
o
o
Un conjunto est´ descrito por extensi´n cuando exhibimos a todos sus elementos ena
o
cerrados en un par´ntesis de llave, as´ por ejemplo, A = {2, 3, 4}.
e
ı
Un conjunto est´ descrito por comprensi´n cuando declaramos una propiedad que la
a
ocumplen s´lo y s´lo los elementos del conjunto, por ejemplo, el conjunto A = {2, 3, 4}
o
o
escrito por comprensi´n es: A = {x / x ∈ N/1 < x < 5}.
o
13

Naturalmente que tambi´n podemos anotarlo: A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 4},
e
A = {x / x ∈ N / 1 < x ≤ 4}, ´ A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x < 5}.
o

2.2.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Definici´n 2.2.1. Sean A y B conjuntos, decimos que A essubconjunto de B, lo que
o
denotamos A ⊆ B si y s´lo si “todos los elementos de A son tambi´n elementos de B”, es
o
e
decir,
A ⊆ B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B].

Ejemplo 2.2.1. Demuestre que A ⊆ A ∀ A (propiedad refleja).
Soluci´n. Como ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, concluimos que A ⊆ A.
o
Ejemplo 2.2.2. Demuestre que [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ A ⊆ C ∀ A, B, C (transitividad).
Soluci´n.
o
[A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ [∀ x : x∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ C]
⇒ ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C,
de donde A ⊆ C.
Observaci´n 2.2.1. A no es subconjunto de B, lo que denotamos A ⊂ B si y s´lo si “existe
o
o
alg´n elemento en A que no est´ en B” es decir
u
a
A ⊂ B ⇔ ∃ x : x ∈ A ∧ x ∈ B.
/

Definici´n 2.2.2. Decimos que los conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A = B
o
si y s´lo si “todos los elementos de Ason elementos de B y todos los elementos de B son
o
elementos de A”, es decir
A = B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ A] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

2.3.

ALGUNOS CONJUNTOS IMPORTANTES

Conjunto Vac´
ıo
Sea A un conjunto, entonces {x / x ∈ A∧x ∈ A} es un conjunto que no tiene elementos,
/
lo denotamos ∅A y es el conjunto “vac´ de A”.
ıo
Proposici´n 2.3.1. ∅A ⊆ A , ∀ A.
o

´
CAP´ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
IA

15

Demostraci´n. La realizaremos por reducci´n al absurdo. Supongamos que ∅A no es subo
o
conjunto de A, entonces ∃ x : x ∈ ∅A ∧ x ∈ A, esto constituye una contradicci´n ya que el
/
o
conjunto ∅A no tiene elementos, entonces debe ocurrir que ∅A ⊆ A.
Observaci´n 2.3.1. Note el uso de [p ⇒ (q ∧ (∼ q))] ⇒∼ p donde p : ∅A ⊂ A.
oProposici´n 2.3.2. ∅A = ∅B , ∀ A, B.
o
Demostraci´n. Se debe demostrar que 1) ∅A ⊆ ∅B y 2) ∅B ⊆ ∅A .
o
1) As´ es, ya que si no es cierto, es decir, si ∅A no es subconjunto de ∅B , debe exisı
tir al menos un elemento que pertenezca a ∅A y que no est´ en ∅B ; esto es una
a
contradicci´n, por lo que ∅A ⊆ ∅B .
o
2) De manera an´loga, ∅B ⊆ ∅A .
a
Por 1) y 2) concluimos que ∅A = ∅B .
Observaci´n2.3.2. Como todos los “vac´
o
ıos” son iguales, denotamos simplemente ∅.
Conjunto Unitario
Es aquel conjunto que tiene un unico elemento. Se lee como, el unitario del elemento.
´
Ejemplo 2.3.1. A = {x / x ∈ N , 3 < x < 5} = {4} se lee “el unitario del 4”.
Conjunto Universal U
Se puede demostrar que no existe un conjunto universo que contenga a todos los
conjuntos (Paradoja de...