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Problemas de fases nacionales e internacionales

1.- (China 1993). Dado el paralelogramo ABCD, se consideran dos puntos E, F sobre la diagonal AC e interiores al paralelogramo. Demostrar que si existe una circunferencia pasando por E y F y tangente a las rectas AB y BC, entonces también existe una circunferencia pasando por E y F y tangente a las rectas DA y DC.

2.- (Alemania 1990). Dado unheptágono ABCDEFG de lado 1, pribar que las diagonales AC y AD verifican:
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3.- (Turquía 1993).- Sea M el circuncentro de un triángulo acutángulo ABC. Supongamos que la circunferencia que pasa por B, M, A corta en P al segmento BC y en Q al segmento AC. Demostrar que CM es perpendicular a PQ.

4.- (Turquía 1993).- Sobre un semicirculo de diámetro AB y centro O se consideran los puntos Eu C de modo que OE es perpendicular a AB y la cuerda AC corta a OE en D interior al semicirculo. Hallar todos los valores del ángulo (CAB de modo que en el cuadrilátero OBCD pueda inscribirse un círculo.

5.- (Irlanda 1993).- Los números reales α y β verifican:

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Hallar α + β.

6.- (Alemania 1992).- En la fracción:

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cada letra representa un dígito. Letras distintascorresponden a dígitos distintos. El desarrollo decimal es periódico puro con un periodo de longitud cuatro. Hallar la fracción.

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7.- (Alemania 1992).- Se colocan seis cuadrados del modo que muestra la figura:
Demostrar que la suma de las áreas del cuadrados “interiores” denotados por I,II,III es la tercera parte de la suma de las áreas de los cuadrados “exteriores” denotados por IV, V, VI.8.- (Alemania 1990).- Demostrar que para todo entero n > 1 se cumple:

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9.- (IV Olimpiada internacional).- Hallar el menor número natural n que cumpla:
a) Su representación en base decimal termina en 6.
b) Si borramos el 6 final y lo colocamos delante del resto de los dígitos, el número resultante es cuatro veces el anterior.

10.- (IV Olimpiada internacional).- Resolver en R lainecuación:

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11.- (IV Olimpiada internacional).- En un concurso deportivo hay m medallas para repartir en n días consecutivos (n > 1). El primer día se reparten 1 medalla mas [pic] de las restantes. El segundo día se reparten 2 medallas mas [pic] de las restantes y así sucesivamente. El n-ésimo día se repartieron las n medallas que quedaban. Hallar el número de días y de medallas.

12.- (XOlimpiada internacional).- Probar que existe un único triángulo con los lados enteros consecutivos y uno de sus ángulos doble que otro.

13.- (I Olimpiada internacional).- Se toma un punto arbitrario M en el interior de una segmento dado AB. Se construyen los cuadrados AMCD y MBEF ambos al mismo lado de AB. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados con centros en P y Q, se cortan en My en un segundo punto N. Sea N’ la intersección de las rectas AF y BC. Demostrar:
a) N y N’ coinciden.
b) Las rectas MN pasan por un punto fijo S con independencia de la elección de M.
c) Hallar el lugar geométrico del punto medio del segmento PQ cuando M varía en AB.

14.- (II Olimpiada internacional).- Construir un triángulo ABC conociendo ha, hb y ma.

15.- (II Olimpiadainternacional).- Resolver en R la desigualdad:

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16.- (III Olimpiada internacional).- Resolver el sistema de ecuaciones:

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siendo a y b constantes. Dar las condiciones que deben satisfacer a y b para que las soluciones del sistema sean distintas.

17.- Demostrar que en un triángulo de lados a, b, c y área T se verifica: [pic].
¿En qué caso se verifica la igualdad?.

18.-(Irlanda 1993).-La recta l es tangente en A a la circunferencia S. B y C son dos puntos de l uno a cada lado de A. Las tangentes a S por B y C se cortan en P. Hallar el lugar geométrico de P cuando B y C varían sobre l de modo que |AB|·|AC| es constante.

19.- (Irlanda 1993).- La función f(x) = xn + an-1xn-1 +.....+a0 con n > 0 y todos los ai reales verifica |f(0)| = f(1) y cada raíz α de f es real y...