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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
JCC - SC - JG - RC - XC/jsjrx
Segundo Semestre de 2012

PAUTA PRIMER CERTAMEN
Cálculo III 220007
1.

a)

Hallar laecuación de la recta que contiene el punto B(3, 6, 4), intercepta al eje Z y es
paralela al plano M : x − 3y + 5z − 6 = 0

Departamento de Matemática - Universidad del Bío-Bío - 2012

Solución:Como la recta L intercepta al eje Z , entonces A(0, 0, z0 ) ∈ L, por lo cual
⃗ = B − A = (3, 6, 4 − z0 )
v

es director de L

(2 pts)

Además el vector normal del plano M está dado por n = (1,−3, 5) y por condición
de paralelismo entre plano y recta se satisface
(3, 6, 4−z0 )·(1, −3, 5) = 0 ⇐⇒ 3−18+20−5z0 = 0 ⇐⇒ z0 = 1

∴ v = (3, 6, 3)

(5 pts)

de donde la ecuación de la recta es
L: (x, y, z) = (3, 6, 4) + t(3, 6, 3) ⇐⇒ L :
b)

x−3
y−6
z−4
=
=
3
6
3

(3 pts)

Dado el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 ; |y| < x2 } ∩ {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 − 1 ≤ 1}, hallar
˚
A, A′ yFr(A). Justique si ¾A es abierto? ¾A es compacto?

Solución: Consideremos el graco

√

˚
(2 pts) A = {(x, y) ∈ R2 : |y| < x2 ∧ x2 + y 2 < ( 2)2 }
√
(2 pts) A′ = {(x, y) ∈ R2 : |y| ≤ x2 ∧ x2 +y 2 ≤ ( 2)2 }
√
(2 pts) Fr(A) = {(x, y) ∈ R2 : |y| = x2 , −1 ≤ x ≤ 1∧x2 +y 2 = ( 2)2 , −1 ≤ y ≤ 1}
˚
(2 pts) Puesto que A ̸= A, se tiene que A no es abierto.
(2 pts) Por otro lado A = A′ de dondeA ̸= A y por ende A no es cerrado, por
tanto A no es compacto.
c)

Para la función implicita z en
y 2 x2
z2
−
−
=1
9
4
16

1

UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
JCC - SC - JG - RC - XC/jsjrx
Segundo Semestre de 2012

Hallar las curvas de nivel Sk (z) y gracarlas para k = 0, k = −4 y k = 4. Además
hallar el gráco de la supercie.Solución: En general Sk (z) = {(x, y) :

y 2 x2
k2
−
= 1 + }, así
9
4
16

y 2 x2
−
= 1}
9
4
y 2 x2
(2 pts) S4 (z) = {(x, y) :
−
= 1}
18
8
y 2 x2
(2 pts) S−4 (z) = {(x, y) :
−...