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Universidad de Valpara´
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Escuela de Ingenier´ Civil
ıa

Gu´ II, Civ 113
ıa
Marzo de 2014
Profesor: Antonio Morales A.

1. Calcule los valores de seno y coseno en

4π 5π 3π 31π
, ,
y3 6 2
6

2. Determine los valores de sin(α), si
a) cos(α) = −
b) cos(α) =

4
y α est´ en el tercer cuadrante.
a
5

5
y α no est´ en el primer cuadrante.
a
6

3. Determine los valoresde cos(α), si
5
y α est´ en el primer cuadrante.
a
13
2
a
b) sin(α) = y α no est´ en el primer cuadrante.
3

a) sin(α) =

4. Determine los valores de sin(θ) y cos(θ), si
1
y θ est´ enel segundo cuadrante.
a
3
5
b) sec(θ) = −
3

a) tan(θ) = −

5. Determine el valor de tan(θ), si csc(θ) =

12
7

4
12
π
6. Si sin(α) = , sin(β) =
y α, β ∈ 0, , calcule sin(α − β) ycos(α + β)
5
13
2
7. Si cos(θ) = −

5
π
θ
yθ∈
, π , calcule el valor exacto de sin(2θ) y cos
13
2
2

8. Calcule el valor de la expresi´n
o
A=
donde α ∈ R.

sec(90 − α) cos(180 + α)tan(360 − α) sin(270 + α)

2

9. Exprese cos θ +

π
4

y sin θ +

π
3

10. Sea α ∈ [0, 2π[ tal que cos(α) = −

en t´rminos del ´ngulo θ
e
a
3
y sin(α) > 0. Determine el valor delas siguientes expresiones:
4

π
2

a) A =

csc(α) − 3 sin α −

b) B =

tan3 (α) − cos −α +

1 + cot2 (α)
π
+ 5 sin(−α)
4
sin2 (α) − cos2 (α) + 1

11. Demuestre que si cos(α + β) =0, entonces sin(α + 2β) = sin(α)
12. Demuestre que si α y β son ´ngulos complementarios, entonces
a
(sin(α) + sin(β))(cos(α) + cos(β)) = 1 + sin(2α)
13. Demuestre que para todo α ∈ R,
π
π
π
π1
+ α cos
− α − sin
+ α sin
−α =
6
6
6
6
2
√
π
π
b) sin α −
+ cos α −
= 3 sin(α)
6
3
π
π
c) 3 cos α −
− cos 3 α +
= 4 sin3 (α)
2
2

a) cos

14. Sean α, β ∈ R tales que α +β =

√
π
. Demuestre que cos(α) + sin(α) = 2 cos
2

15. Asumiendo que para todos α, β ∈ R se cumple que
cos(α − β) − cos(α + β)
2
b) cos(90 − α) = sin(α)

a) sin(α) sin(β) =

demuestre...